Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 88 стр.

   Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по
области и криволинейным интегралом II-го рода по границе области.
   Рассмотрим теперь условия, при которых векторное поле на плоско-
сти будет потенциальным. Пусть F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j непре-
рывное векторное поле в области D .
   Теорема 1. Для того, чтобы непрерывное в области D векторное
поле
                  F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный
интеграл                    Z
                                P dx + Q dy
                            γ
не зависел от кривой γ , соединяющей любые две фиксированные точки
области.
   Эту теорему можно сформулировать также в следующей эквивалент-
ной формулировке.
   Теорема 1. Для того, чтобы непрерывное в области D векторное
поле
                    F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный
интеграл по любому замкнутому контуру C ⊂ D был равен нулю:
                        I
                          P dx + Q dy = 0 .
                        C
   Доказательство. Доказательство необходимости условия, сформули-
рованного в этой теореме, приведено в предыдущем параграфе. Докажем
достаточность.
   Пусть точка с координатами (x0 , y0 ) — некоторая фиксированная
точка, а (x, y) — координаты произвольной точки области G ; γ ⊂ G —


                                   88