Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ведливо равенство:
ZZ
D
∂Q
∂x
dx dy =
I
C
Q dy ,
где символом
I
C
обозначен криволинейный интеграл II-го рода по за-
мкнутому контуру C . Докажем первое из этих равенств. Вычислим двой-
ной интеграл, стоящий в левой части равенства:
ZZ
D
∂P
∂y
dx dy =
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
∂P
∂y
dy =
=
b
Z
a
(P(x, y
2
(x)) − P(x, y
1
(x))) dx =
b
Z
a
P(x, y
2
(x)) dx −
b
Z
a
P(x, y
1
(x)) dx =
=
−
Z
γ
3
P dx −
Z
γ
1
P dx = −
Z
γ
3
P dx −
Z
γ
1
P dx =
= −
Z
γ
1
P dx −
Z
γ
2
P dx −
Z
γ
3
P dx −
Z
γ
4
P dx = −
I
C
P dx ,
где мы учли, что
Z
γ
2
P dx =
Z
γ
4
P dx = 0 .
Второе равенство доказывается аналогично, только в этом случае
разбиение границы надо будет делать относительно другой оси.
Если область D элементарна относительно обеих координатных осей,
то, вычитая из второго равенства первое, получим следующую формулу:
I
C
P dx + Q dy =
ZZ
D
µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy ,
которая называется формулой Грина. При доказательстве этой формулы
мы существенно пользовались элементарностью области относительно
86
ведливо равенство:            ZZ                        I
                                   ∂Q
                                      dx dy =               Q dy ,
                                   ∂x
                              D                        C
                I
где символом        обозначен криволинейный интеграл II-го рода по за-
             C
мкнутому контуру C . Докажем первое из этих равенств. Вычислим двой-
ной интеграл, стоящий в левой части равенства:
                        ZZ                  Zb         y2Z(x)
                             ∂P                                 ∂P
                                dx dy =          dx                dy =
                             ∂y                                 ∂y
                                            a          y1 (x)
                        D
  Zb                                             Zb                       Zb
= (P(x, y2 (x)) − P(x, y1 (x))) dx =                  P(x, y2 (x)) dx − P(x, y1 (x)) dx =
  a                                              a                        a
                    Z              Z                    Z            Z
            =        P dx − P dx = − P dx − P dx =
                − γ3         γ1      γ3    γ1
              Z          Z       Z       Z     I
         = − P dx − P dx − P dx − P dx = − P dx ,
             γ1         γ2      γ3      γ4     C
где мы учли, что           Z       Z
                                   P dx =             P dx = 0 .
                      γ2        γ4
   Второе равенство доказывается аналогично, только в этом случае
разбиение границы надо будет делать относительно другой оси.
   Если область D элементарна относительно обеих координатных осей,
то, вычитая из второго равенства первое, получим следующую формулу:
                I                ZZ µ          ¶
                                      ∂Q ∂P
                  P dx + Q dy =          −       dx dy ,
                                      ∂x    ∂y
                C                D
которая называется формулой Грина. При доказательстве этой формулы
мы существенно пользовались элементарностью области относительно

                                            86

Страницы