Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 85 стр.

оси x , так и относительно оси y .
   Пусть G — область на плоскости E2 с введенной на ней прямоуголь-
ной декартовой системой координат x , y , и пусть D ⊂ G , D — эле-
ментарная относительно координатной оси y область плоскости, а C —
замкнутый контур, являющийся границей этой области (C = ∂D) . Абс-
циссы крайних точек области в направлении оси x обозначим через a
и b . Контур C состоит, вообще говоря, из четырех частей: нижней γ1 ,
верхней γ3 и двух боковых γ2 и γ4 . Для каждой из этих частей можно
записать свое уравнение кривой γ1: y = y1 (x) , γ3: y = y2 (x) , а боковые
являются отрезками прямых x = a , x = b . Таким образом,

               D = {(x, y) | a 6 x 6 b, y1 (x) 6 y 6 y2 (x)} ,

                         C = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 .
   Выберем на замкнутом контуре C направление обхода так, чтобы
при движении по нему внутренние точки области D оставались слева.
Такое направление на контуре называется положительным, а противопо-
ложное направление называется отрицательным. В случае положитель-
ного направления на контуре, положительным направлением на кривой
γ1 будет направление от конца с абсциссой a к концу с абсциссой b , а
положительное направление на кривой γ3 наоборот от конца с абсциссой
b к концу с абсциссой a .
   Пусть теперь в области G заданы две непрерывные функции P(x, y)
и Q(x, y) , имеющие в этой области непрерывные частные производные
∂P и ∂Q . Покажем, что для области D элементарной относительно
∂y     ∂x
координатной оси y справедливо следующее равенство:
                      ZZ              I
                         ∂P
                            dx dy = − P dx ,
                         ∂y
                      D               C
а для области D элементарной относительно координатной оси x спра-


                                     85