Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и (x
1
, y
1
, z
1
) = (x(τ
1
), y(τ
1
), z(τ
1
)) , (x
2
, y
2
, z
2
) = (x(τ
2
), y(τ
2
), z(τ
2
)) . По
условию теоремы функция U(x, y, z) является потенциалом векторного
поля F(x, y, z) , поэтому
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
.
Вычислим криволинейный интеграл II-го рода от потенциального век-
торного поля F(x, y, z) . Сводя его к определенному интегралу, получим:
Z
γ
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
=
Z
γ
∂U
∂x
(x, y, z) dx +
∂U
∂y
(x, y, z) dy +
∂U
∂z
(x, y, z) dz =
=
τ
2
Z
τ
1
µ
∂U
∂x
(x(t), y(t), z(t))x
0
(t) +
∂U
∂y
(x(t), y(t), z(t))y
0
(t)+
+
∂U
∂z
(x(t), y(t), z(t))z
0
(t)
dt =
τ
2
Z
τ
1
d
dt
(U(x(t), y(t), z(t))) dt =
= U(x(τ
2
), y(τ
2
), z(τ
2
)) − U(x(τ
1
), y(τ
1
), z(τ
1
)) =
= U(x
2
, y
2
, z
2
) − U(x
1
, y
1
, z
1
) .
Теорема доказана.
4.8. Формула Грина. Условия потенциальности
векторного поля на плоскости
В этом параграфе мы установим связь между двойными интегра-
лами и криволинейными интегралами II-го рода на плоскости. Введем
несколько предварительных понятий.
Определение. Кривая γ называется замкнутой, если точки ее кон-
цов совпадают.
83
и (x1 , y1 , z1 ) = (x(τ1 ), y(τ1 ), z(τ1 )) , (x2 , y2 , z2 ) = (x(τ2 ), y(τ2 ), z(τ2 )) . По
условию теоремы функция U(x, y, z) является потенциалом векторного
поля F(x, y, z) , поэтому
                                 ∂U      ∂U      ∂U
                           P=       , Q=    , R=    .
                                 ∂x      ∂y      ∂z
Вычислим криволинейный интеграл II-го рода от потенциального век-
торного поля F(x, y, z) . Сводя его к определенному интегралу, получим:
              Z
                 P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
             γ
            Z
               ∂U                  ∂U                   ∂U
         =         (x, y, z) dx +       (x, y, z) dy +      (x, y, z) dz =
                ∂x                 ∂y                   ∂z
            γ
         τZ2µ
              ∂U                               ∂U
      =           (x(t), y(t), z(t))x 0 (t) +      (x(t), y(t), z(t))y 0 (t)+
              ∂x                               ∂y
            τ1
                                     ¶     τZ2
         ∂U                                    d
       +    (x(t), y(t), z(t))z 0 (t) dt =        (U(x(t), y(t), z(t))) dt =
         ∂z                                    dt
                                                  τ1

                 = U(x(τ2 ), y(τ2 ), z(τ2 )) − U(x(τ1 ), y(τ1 ), z(τ1 )) =
                           = U(x2 , y2 , z2 ) − U(x1 , y1 , z1 ) .
Теорема доказана.


           4.8. Формула Грина. Условия потенциальности
                           векторного поля на плоскости

    В этом параграфе мы установим связь между двойными интегра-
лами и криволинейными интегралами II-го рода на плоскости. Введем
несколько предварительных понятий.
    Определение. Кривая γ называется замкнутой, если точки ее кон-
цов совпадают.

                                             83

Страницы