Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из дифференцируемости векторного поля следует, что функция потен-
циала U(x, y, z) дважды дифференцируема. Отсюда имеем:
∂P
∂y
=
∂
2
U
∂x∂y
=
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
=
∂
2
U
∂x∂z
=
∂R
∂x
,
∂Q
∂z
=
∂
2
U
∂y∂z
=
∂R
∂y
.
Теорема доказана.
Замечание. Для векторного поля
F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
на плоскости условия потенциальности имеют вид:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
.
Теорема 2. Пусть задано потенциальное векторное поле
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
и U = U(x, y, z) — его потенциал. Пусть γ — ориентированная кривая,
соединяющая две точки с координатами (x
1
, y
1
, z
1
) и (x
2
, y
2
, z
2
) соот-
ветственно. Направление ориентации кривой γ выбрано в направлении
от первой точки ко второй. Тогда
Z
γ
P(x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy+R(x, y, z) dz = U(x
2
, y
2
, z
2
)−U(x
1
, y
1
, z
1
),
то есть криволинейный интеграл второго рода от потенциального вектор-
ного поля не зависит от кривой γ , соединяющей две точки (x
1
, y
1
, z
1
) и
(x
2
, y
2
, z
2
) , а зависит только от выбора самих этих точек.
Доказательство. Пусть кривая γ задана в параметрическом виде:
γ :
x = x(t) ,
y = y(t) ,
z = z(t) ,
82
Из дифференцируемости векторного поля следует, что функция потен-
циала U(x, y, z) дважды дифференцируема. Отсюда имеем:
         ∂P   ∂2 U   ∂Q ∂P   ∂2 U   ∂R ∂Q   ∂2 U   ∂R
            =      =   ,   =      =   ,   =      =    .
         ∂y ∂x∂y     ∂x ∂z   ∂x∂z   ∂x ∂z   ∂y∂z ∂y
Теорема доказана.
     Замечание. Для векторного поля

                         F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j

на плоскости условия потенциальности имеют вид:
                                    ∂P   ∂Q
                                       =    .
                                    ∂y   ∂x
     Теорема 2. Пусть задано потенциальное векторное поле

              F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k

и U = U(x, y, z) — его потенциал. Пусть γ — ориентированная кривая,
соединяющая две точки с координатами (x1 , y1 , z1 ) и (x2 , y2 , z2 ) соот-
ветственно. Направление ориентации кривой γ выбрано в направлении
от первой точки ко второй. Тогда

Z
    P(x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy+R(x, y, z) dz = U(x2 , y2 , z2 )−U(x1 , y1 , z1 ),
γ

то есть криволинейный интеграл второго рода от потенциального вектор-
ного поля не зависит от кривой γ , соединяющей две точки (x1 , y1 , z1 ) и
(x2 , y2 , z2 ) , а зависит только от выбора самих этих точек.
     Доказательство. Пусть кривая γ задана в параметрическом виде:
                                     
                                     
                                      x = x(t) ,
                                 γ:    y = y(t) ,
                                     
                                     
                                        z = z(t) ,

                                         82

Страницы