Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 80 стр.

       4.6. Криволинейный интеграл II-го рода на плоскости

     Пусть на плоскости с координатами x , y задана кривая:
                               ±
                                 x = x(t) ,
                            γ:
                                 y = y(t) ,
параметр которой меняется в интервале τ1 6 t 6 τ2 , а также пусть за-
дана некоторая вектор-функция F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j . Тогда по
аналогии с трехмерным случаем, изложенном в предыдущем параграфе
криволинейный интеграл II-го рода от вектор-функции F(x, y) по кри-
вой γ в пространстве двух измерений будет вычисляться по формуле:
Z                               τZ2

    P(x, y) dx + Q(x, y) dy = (P(x(t), y(t))x 0 (t) + Q(x(t), y(t))y 0 (t)) dt .
γ                              τ1

   Эта формула пригодна для вычислений в случае, когда кривая γ за-
дана в параметрическом виде. В случае кривой, заданной явным уравне-
нием y = y(x) (a 6 x 6 b) , формула для вычисления криволинейного
интеграла II-го рода будет иметь вид:
      Z                               Zb
          P(x, y) dx + Q(x, y) dy = (P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y 0 (x)) dx ,
      γ                               a

где порядок пределов интегрирования ставится в соответствии с выбран-
ным направлением ориентации кривой γ .
   Пример. Вычислить криволинейный интеграл II-го рода:
                        Z
                                  y
                          xy dx + 2 dy ,
                                 x
                        γ

где кривая γ — это участок параболы y = x2 (0 6 x 6 2) .
     Решение. Поскольку y 0 (x) = 2x , то, пользуясь соответствующей
формулой для вычисления криволинейного интеграла II-го рода, будем

                                           80