Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где пределы интегрирования τ
1
и τ
2
ставятся в соответствии с выбран-
ным направлением обхода на ориентированной кривой γ . Таким обра-
зом, мы получили следующую формулу:
Z
γ
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
=
τ
2
Z
τ
1
(P(x(t), y(t), z(t))x
0
(t)+Q(x(t), y(t), z(t))y
0
(t)+R(x(t), y(t), z(t))z
0
(t))dt,
которая называется формулой сведения криволинейного интеграла II-го
рода к определенному интегралу. Эта формула служит для вычисления
криволинейных интегралов II-го рода.
Пример. Найти работу силового поля F = −y i + x j + z k при пе-
ремещении материальной точки по первому витку винтовой линии
γ :
x = a cos t ,
y = a sin t ,
z = h t ,
в направлении возрастания параметра t .
Решение. Начальной точке пути соответствует значение параметра
t = 0 , а конечной точке значение параметра t = 2π . Работа силового
поля вычисляется при помощи криволинейного интеграла II-го рода:
A =
Z
γ
−y dx + x dy + z dz =
=
2π
Z
0
(−a sin t(a cos t)
0
+ a cos t(a sin t)
0
+ ht(ht)
0
) dt =
=
2π
Z
0
(a
2
+ h
2
t) dt = 2π(a
2
+ πh
2
) .
79
где пределы интегрирования τ1 и τ2 ставятся в соответствии с выбран-
ным направлением обхода на ориентированной кривой γ . Таким обра-
зом, мы получили следующую формулу:
            Z
              P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
           γ
 τZ2

= (P(x(t), y(t), z(t))x 0 (t)+Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t)+R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t))dt,
 τ1
которая называется формулой сведения криволинейного интеграла II-го
рода к определенному интегралу. Эта формула служит для вычисления
криволинейных интегралов II-го рода.
   Пример. Найти работу силового поля F = −y i + x j + z k при пе-
ремещении материальной точки по первому витку винтовой линии
                           
                           
                            x = a cos t ,
                        γ:   y = a sin t ,
                           
                           
                             z = ht      ,
в направлении возрастания параметра t .
    Решение. Начальной точке пути соответствует значение параметра
t = 0 , а конечной точке значение параметра t = 2π . Работа силового
поля вычисляется при помощи криволинейного интеграла II-го рода:
                         Z
                     A = −y dx + x dy + z dz =
                         γ
              Z
              2π

          =       (−a sin t(a cos t) 0 + a cos t(a sin t) 0 + ht(ht) 0 ) dt =
              0
                             Z
                             2π

                         =       (a2 + h2 t) dt = 2π(a2 + πh2 ) .
                             0



                                             79

Страницы