Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

при беспредельном уменьшении векторных элементов ∆l
i
и беспредель-
ном возрастании числа n элементарных дуг γ
i
называется криволиней-
ным интегралом II-го рода от вектор-функции F(x, y, z) по ориентиро-
ванной кривой γ и обозначается символом:
Z
γ
(F(x, y, z), dl) .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения кривой γ , ни
от выбора точек (x
i
, y
i
, z
i
) внутри элементарных дуг γ
i
.
Итак,
Z
γ
(F(x, y, z), dl)
def
= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
(F(x
i
, y
i
, z
i
), ∆l
i
) .
Здесь вектор dl — это вектор бесконечно малого перемещения вдоль
кривой γ , координаты которого являются бесконечно малыми смещени-
ями dx , dy и dz вдоль координатных осей, то есть
dl = ( dx ) i + (dy) j + (dz) k .
Вычислив скалярное произведение вектор-функции F(x, y, z) на век-
тор dl , получим:
(F(x, y, z), dl) = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz ,
а векторное определение криволинейного интеграла II-го рода можно
переписать в координатном виде:
Z
γ
(F(x, y, z), dl) =
Z
γ
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz .
Замечание 1. Важно отметить, что кривая γ в криволинейном ин-
теграле II-го рода — это ориентированная кривая. Если на кривой γ
выбрать противоположное направление ориентации кривой, то знак кри-
волинейного интеграла II-го рода изменится, то есть
−
Z
γ
P dx + Q dy + R dz = −
Z
γ
P dx + Q dy + R dz .
77
при беспредельном уменьшении векторных элементов ∆li и беспредель-
ном возрастании числа n элементарных дуг γi называется криволиней-
ным интегралом II-го рода от вектор-функции F(x, y, z) по ориентиро-
ванной кривой γ и обозначается символом:
                                Z
                                  (F(x, y, z), dl) .
                                γ
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения кривой γ , ни
от выбора точек (xi , yi , zi ) внутри элементарных дуг γi .
   Итак,
            Z                                   n
                                                X
                               def
                (F(x, y, z), dl) =     lim          (F(xi , yi , zi ), ∆li ) .
                                     ∆lmax →0
            γ                        i=1

   Здесь вектор dl — это вектор бесконечно малого перемещения вдоль
кривой γ , координаты которого являются бесконечно малыми смещени-
ями dx , dy и dz вдоль координатных осей, то есть
                        dl = (dx) i + (dy) j + (dz) k .
   Вычислив скалярное произведение вектор-функции F(x, y, z) на век-
тор dl , получим:
      (F(x, y, z), dl) = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz ,
а векторное определение криволинейного интеграла II-го рода можно
переписать в координатном виде:
    Z                   Z
      (F(x, y, z), dl) = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz .
    γ                   γ
   Замечание 1. Важно отметить, что кривая γ в криволинейном ин-
теграле II-го рода — это ориентированная кривая. Если на кривой γ
выбрать противоположное направление ориентации кривой, то знак кри-
волинейного интеграла II-го рода изменится, то есть
            Z                        Z
              P dx + Q dy + R dz = − P dx + Q dy + R dz .
          −γ                         γ
                                         77

Страницы