Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где Пр
∆l
i
F — проекция вектора F на направление вектора ∆l
i
, каса-
тельное к кривой γ ; ∆l
i
— длина элементарного пути, равная моду-
лю вектора ∆l
i
перемещения на любом i -ом отрезке пути; (x
i
, y
i
, z
i
) —
координаты точки кривой γ , произвольно взятой внутри i -го отрезка
пути. Здесь мы учли тот факт, что только касательная составляющая
силы будет совершать работу, поэтому мы и берем проекцию силы на
направление касательной к кривой. Из курса аналитической геометрии
мы знаем, что проекция вектора на выбранное направление равна:
Пр
∆l
i
F = F cos α
i
,
где α
i
— угол между векторами F и ∆l
i
, F — длина вектора F . Исполь-
зуя это выражение в формуле для работы ∆A
i
на i -ом малом участке
пути, получим:
∆A
i
≈ F(x
i
, y
i
, z
i
) ∆l
i
cos α
i
= (F(x
i
, y
i
, z
i
), ∆l
i
) ,
где круглыми скобками обозначено скалярное произведение соответству-
ющих векторов.
Работа A на всем пути γ будет приближенно равна:
A =
n
X
i=1
∆A
i
≈
n
X
i=1
(F(x
i
, y
i
, z
i
), ∆l
i
) .
Точность этого приближенного соотношения можно повысить умень-
шением элементарных перемещений ∆l
i
, увеличивая, таким образом,
число n элементарных областей. В пределе при беспредельном умень-
шении каждого из векторов ∆l
i
и беспредельном возрастании числа n
элементарных дуг γ
i
равенство становится точным:
A = lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
(F(x
i
, y
i
, z
i
), ∆l
i
) .
Определение. Конечный предел суммы
σ =
n
X
i=1
(F(x
i
, y
i
, z
i
), ∆l
i
)
76
где Пр∆li F — проекция вектора F на направление вектора ∆li , каса-
тельное к кривой γ ; ∆li — длина элементарного пути, равная моду-
лю вектора ∆li перемещения на любом i -ом отрезке пути; (xi , yi , zi ) —
координаты точки кривой γ , произвольно взятой внутри i -го отрезка
пути. Здесь мы учли тот факт, что только касательная составляющая
силы будет совершать работу, поэтому мы и берем проекцию силы на
направление касательной к кривой. Из курса аналитической геометрии
мы знаем, что проекция вектора на выбранное направление равна:

                                Пр∆l F = F cos αi ,
                                    i

где αi — угол между векторами F и ∆li , F — длина вектора F . Исполь-
зуя это выражение в формуле для работы ∆Ai на i -ом малом участке
пути, получим:

            ∆Ai ≈ F(xi , yi , zi ) ∆li cos αi = (F(xi , yi , zi ), ∆li ) ,

где круглыми скобками обозначено скалярное произведение соответству-
ющих векторов.
   Работа A на всем пути γ будет приближенно равна:
                         n
                         X                n
                                          X
                   A=           ∆Ai ≈           (F(xi , yi , zi ), ∆li ) .
                          i=1             i=1

   Точность этого приближенного соотношения можно повысить умень-
шением элементарных перемещений ∆li , увеличивая, таким образом,
число n элементарных областей. В пределе при беспредельном умень-
шении каждого из векторов ∆li и беспредельном возрастании числа n
элементарных дуг γi равенство становится точным:
                                        n
                                        X
                     A=         lim           (F(xi , yi , zi ), ∆li ) .
                           ∆lmax →0
                                        i=1

   Определение. Конечный предел суммы
                                  n
                                  X
                           σ=           (F(xi , yi , zi ), ∆li )
                                  i=1

                                              76

Страницы