Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 75 стр.

τ2 , то говорят, что она движется в направлении возрастания параметра
t . Если же точка движется по кривой γ в направлении от τ2 к τ1 , то
она перемещается в противоположном направлении. Поэтому на кривой
γ существуют два направления обхода: одно определяется возрастанием
параметра t , другое его убыванием.
   Определение. Кривая, на которой выбрано одно из двух возмож-
ных направлений обхода, называется ориентированной кривой.
   Если γ — ориентированная кривая, то через −γ будем обозначать
кривую, на которой выбрано противоположное направление обхода.
   Рассмотрим некоторую вектор-функцию F(x, y, z) вдоль некоторой
ориентированной кривой γ . Для определенности выберем направление
обхода по кривой γ в направлении возрастания ее параметра t . Ис-
пользуя физическую аналогию, можно трактовать кривую γ как траек-
торию (путь) материальной точки, параметр t как время, а векторное
поле F(x, y, z) как поле некоторой физической силы. Нашей задачей бу-
дет определить работу силы F при перемещении материальной точки
из одного конца пути γ в другой.
    Разобьем путь γ на малые дуги γi длины ∆li подобно тому, как мы
это делали при рассмотрении криволинейного интеграла I-го рода. Отли-
чие будет состоять в том, что теперь нам важно рассматривать ориенти-
рованную кривую. Для криволинейного интеграла I-го рода ориентация
кривой не имела значения. Теперь же мы рассматриваем ориентирован-
ную кривую γ , что отражает факт перемещения материальной точки
в определенном направлении. Поэтому элементарные длины ориентиро-
ванной кривой — это векторные величины, направленные в направлении
выбранной ориентации. Вектор перемещения по i -ой элементарной дуге
ориентированной кривой γ обозначим ∆li . Силу F при малом переме-
щении ∆li можно считать приблизительно постоянной, поэтому работа
∆Ai на i -ом малом участке пути будет приближенно равна:

                    ∆Ai ≈ Пр∆li F(xi , yi , zi ) ∆li ,

                                   75