Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 73 стр.

     4.3. Криволинейный интеграл I-го рода на плоскости

   Пусть теперь кривая γ задана на плоскости с декартовыми коорди-
натами x , y                ±
                              x = x(t) ,
                         γ:
                              y = y(t) ,
(τ1 6 t 6 τ2 ) , и, кроме того, задана некоторая функция двух перемен-
ных ρ = f(x, y) . Тогда по аналогии с предыдущим параграфом криволи-
нейный интеграл I-го рода от функции f(x, y) по кривой γ в простран-
стве двух измерений будет вычисляться по формуле:
          Z             τZ2
                                      q
            f(x, y) dl = f(x(t), y(t)) (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt ,
          γ             τ1

а элемент длины плоской кривой имеет вид:
                         q
                    dl = (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt .

    Приведенная выше формула пригодна для вычислений в случае, ко-
гда кривая γ задана в параметрическом виде. Однако кривая на плос-
кости может быть задана явным уравнением y = y(x) (a 6 x 6 b) .
В этом случае формула для вычисления криволинейного интеграла I-го
рода будет иметь вид:
               Z                  Zb                q
                   f(x, y) dl =        f(x, y(x))       1 + (y 0 (x))2 dx ,
               γ                  a

где переменная x играет роль параметра кривой.
  Выражение для элемента длины в этом случае принимает следую-
щую форму:              q
                    dl = 1 + (y 0 (x))2 dx .
   Пример. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода:
                       Z
                             y
                         √         dl ,
                           1 + 4x2
                       γ
                                            73