Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

соответствует некоторое значение параметра t
i
, в силу чего интеграль-
ную сумму для криволинейного интеграла I-го рода можно переписать в
виде:
Z
γ
f(x, y, z) dl= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆l
i
= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
f(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
)) ∆l
i
.
В силу малости элементарных дуг γ
i
их можно считать прямолинейны-
ми отрезками. Тогда длины ∆l
i
можно выразить по теореме Пифагора
через проекции ∆x
i
, ∆y
i
и ∆z
i
дуги γ
i
на координатные оси x , y и z
соответственно:
∆l
i
=
q
(∆x
i
)
2
+ (∆y
i
)
2
+ (∆z
i
)
2
.
Далее длины ∆l
i
можно выразить через соответствующее изменение ∆t
i
параметра t . Умножим и разделим выражение для ∆l
i
на число ∆t
i
,
а в знаменателе занесем это число под корень. Получится следующее
выражение:
∆l
i
=
s
(∆x
i
)
2
(∆t
i
)
2
+
(∆y
i
)
2
(∆t
i
)
2
+
(∆z
i
)
2
(∆t
i
)
2
∆t
i
.
Подставим это выражение в интегральную сумму для криволинейного
интеграла I-го рода:
lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
f(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
)) ∆l
i
=
= lim
∆t
max
→0
n
X
i=1
f(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
))
s
(∆x
i
)
2
(∆t
i
)
2
+
(∆y
i
)
2
(∆t
i
)
2
+
(∆z
i
)
2
(∆t
i
)
2
∆t
i
,
где мы учли, что при ∆t
i
→0 имеет место стремление ∆l
i
→0 . Полу-
ченная интегральная сумма является интегральной суммой для опреде-
ленного интеграла:
τ
2
Z
τ
1
f(x(t), y(t), z(t))
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
+ (z
0
(t))
2
dt .
71
соответствует некоторое значение параметра ti , в силу чего интеграль-
ную сумму для криволинейного интеграла I-го рода можно переписать в
виде:
Z                         Xn                                 Xn
  f(x, y, z) dl = lim         f(xi , yi , zi ) ∆li = lim         f(x(ti ), y(ti ), z(ti )) ∆li .
                 ∆lmax →0                           ∆lmax →0
γ                         i=1                                i=1

В силу малости элементарных дуг γi их можно считать прямолинейны-
ми отрезками. Тогда длины ∆li можно выразить по теореме Пифагора
через проекции ∆xi , ∆yi и ∆zi дуги γi на координатные оси x , y и z
соответственно:
                        q
                  ∆li = (∆xi )2 + (∆yi )2 + (∆zi )2 .

Далее длины ∆li можно выразить через соответствующее изменение ∆ti
параметра t . Умножим и разделим выражение для ∆li на число ∆ti ,
а в знаменателе занесем это число под корень. Получится следующее
выражение:                          s
                                        (∆xi )2 (∆yi )2 (∆zi )2
                           ∆li =                +         +         ∆ti .
                                        (∆ti )2   (∆ti )2   (∆ti )2
Подставим это выражение в интегральную сумму для криволинейного
интеграла I-го рода:
                                       n
                                       X
                              lim             f(x(ti ), y(ti ), z(ti )) ∆li =
                            ∆lmax →0
                                        i=1
                                                       s
                     n
                     X                                     (∆xi )2 (∆yi )2 (∆zi )2
     =     lim             f(x(ti ), y(ti ), z(ti ))               +         +         ∆ti ,
         ∆tmax →0                                          (∆ti )2   (∆ti )2   (∆ti )2
                     i=1
где мы учли, что при ∆ti → 0 имеет место стремление ∆li → 0 . Полу-
ченная интегральная сумма является интегральной суммой для опреде-
ленного интеграла:
             τZ2
                                      q
                   f(x(t), y(t), z(t)) (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt .
             τ1

                                                      71

Страницы