Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 69 стр.

есть будем вычислять значения этой функции только в точках кривой:
ρ|γ = f(x(t), y(t), z(t)) = ρ(t) . Используя физическую аналогию, можно
трактовать кривую γ как материальную нить, подвешенную в простран-
стве, а функцию ρ|γ как линейную плотность этой нити. Нашей задачей
будет найти массу m такой неоднородной материальной нити.
   Разобьем кривую γ на конечное число n малых дуг γi длиной ∆li
каждая. Линейную плотность внутри каждой малой дуги можно считать
приблизительно постоянной. Тогда масса ∆mi участка нити с номером
i будет приближенно равна:
                         ∆mi ≈ f(xi , yi , zi ) ∆li ,
где (xi , yi , zi ) — координаты точки кривой γ , произвольно взятой внут-
ри i -й дуги. Полная масса нити будет приближенно равна:
                       Xn         Xn
                  m=       ∆mi ≈     f(xi , yi , zi ) ∆li .
                        i=1            i=1
Точность этого приближенного соотношения повышается при уменьше-
нии элементарных длин ∆li . При этом увеличивается число n элемен-
тарных дуг γi . В пределе при беспредельном уменьшении каждой из
элементарных дуг γi и беспредельном возрастании числа n элементар-
ных дуг γi равенство становится точным:
                              X n
                   m = lim        f(xi , yi , zi ) ∆li ,
                          ∆lmax →0
                                     i=1
где через ∆lmax обозначена максимальная длина среди всех элементар-
ных длин ∆li .
   Определение. Конечный предел суммы
                        Xn
                    σ=     f(xi , yi , zi ) ∆li
                               i=1
при беспредельном уменьшении длин ∆li элементарных дуг γi и бес-
предельном возрастании числа n элементарных дуг называется криво-
линейным интегралом I-го рода от функции ρ = f(x, y, z) по кривой γ

                                       69