Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и обозначается символом:
Z
γ
f(x, y, z) dl .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения кривой γ , ни
от выбора точек (x
i
, y
i
, z
i
) внутри элементарных дуг γ
i
.
Итак,
Z
γ
f(x, y, z) dl
def
= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆l
i
.
Замечание. Аналогичное определение существует в любом n -мерном
евклидовом пространстве E
n
:
Z
γ
f(x
1
, . . . , x
n
) dl
def
= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
f(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) ∆l
i
.
Основные определения и теоремы в теории криволинейного интегра-
ла аналогичны таковым в теории кратных интегралов.
4.2. Сведение криволинейного интеграла I-го рода
к определенному интегралу
Пусть в трехмерном пространстве координат x , y , z задана некото-
рая кривая:
γ :
x = x(t) ,
y = y(t) ,
z = z(t) ,
причем параметр кривой t меняется в пределах τ
1
6 t 6 τ
2
, где чис-
ла τ
1
и τ
2
— это значения параметра на концах кривой. Рассмотрим
вновь разбиение кривой γ на элементарные дуги γ
i
с длинами ∆l
i
со-
ответственно. Каждой точке (x
i
, y
i
, z
i
) кривой γ взятой внутри дуги γ
i
70
и обозначается символом:
                                 Z
                                      f(x, y, z) dl .
                                γ
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения кривой γ , ни
от выбора точек (xi , yi , zi ) внутри элементарных дуг γi .
   Итак,
                Z                                n
                                                 X
                                def
                    f(x, y, z) dl =     lim            f(xi , yi , zi ) ∆li .
                                      ∆lmax →0
               γ                                 i=1

   Замечание. Аналогичное определение существует в любом n -мерном
евклидовом пространстве En :
          Z                                     Xn
                                   def                (i)            (i)
            f(x1 , . . . , xn ) dl = lim            f( x 1 , . . . , x n ) ∆li .
                                       ∆lmax →0
         γ                                      i=1


    Основные определения и теоремы в теории криволинейного интегра-
ла аналогичны таковым в теории кратных интегралов.


       4.2. Сведение криволинейного интеграла I-го рода
                    к определенному интегралу

   Пусть в трехмерном пространстве координат x , y , z задана некото-
рая кривая:                 
                            
                             x = x(t) ,
                         γ:   y = y(t) ,
                            
                            
                               z = z(t) ,
причем параметр кривой t меняется в пределах τ1 6 t 6 τ2 , где чис-
ла τ1 и τ2 — это значения параметра на концах кривой. Рассмотрим
вновь разбиение кривой γ на элементарные дуги γi с длинами ∆li со-
ответственно. Каждой точке (xi , yi , zi ) кривой γ взятой внутри дуги γi



                                           70

Страницы