Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Определение криволинейного интеграла I-го рода
Пусть в трехмерном пространстве координат x , y , z задана некото-
рая кривая γ в параметрическом виде:
γ :
x = x(t) ,
y = y(t) ,
z = z(t) ,
где t — параметр кривой γ , изменяющийся в некоторых известных пре-
делах τ
1
6 t 6 τ
2
. Напомним некоторые определения из теории кривых.
Определение. Кривая γ называется гладкой, если определяющие
кривую функции x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) непрерывно дифферен-
цируемы на сегменте [τ
1
, τ
2
] .
Определение. Непрерывная кривая γ называется кусочно-гладкой,
если существует такое разбиение T = {t
1
, t
2
. . . , t
n
} (τ
1
= t
1
, τ
2
= t
n
)
отрезка [τ
1
, τ
2
] , что каждая из дуг кривой γ , заключенная между точ-
ками r(t
i
) и r(t
i+1
) (i = 1, . . . , n − 1) , является гладкой кривой.
Определение. Гладкая (или кусочно-гладкая) кривая γ называется
регулярной, если ∀t ∈ [τ
1
, τ
2
]
·
x
2
+
·
y
2
+
·
z
2
6= 0 ,
то есть |
·
r
(t)| 6= 0 .
Определение. Точка r(
˜
t) ,
˜
t ∈ [τ
1
, τ
2
] кривой γ называется точкой
самопересечения, если ∃t ∈ [τ
1
, τ
2
] , t 6=
˜
t , что r(
˜
t) = r(t) .
Замечание. В точках самопересечения кривой касательный вектор
к кривой не единственный.
Рассмотрим теперь задачу, приводящую к определению криволиней-
ного интеграла I-го рода. Пусть в пространстве задана некоторая непре-
рывная функция трех переменных ρ = f(x, y, z) . Рассмотрим ограни-
чение этой функции на некоторую гладкую регулярную кривую γ , то
68
              4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

     4.1. Определение криволинейного интеграла I-го рода

   Пусть в трехмерном пространстве координат x , y , z задана некото-
рая кривая γ в параметрическом виде:
                            
                            
                             x = x(t) ,
                         γ:   y = y(t) ,
                            
                            
                               z = z(t) ,
где t — параметр кривой γ , изменяющийся в некоторых известных пре-
делах τ1 6 t 6 τ2 . Напомним некоторые определения из теории кривых.
   Определение. Кривая γ называется гладкой, если определяющие
кривую функции x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) непрерывно дифферен-
цируемы на сегменте [τ1 , τ2 ] .
   Определение. Непрерывная кривая γ называется кусочно-гладкой,
если существует такое разбиение T = {t1 , t2 . . . , tn } (τ1 = t1 , τ2 = tn )
отрезка [τ1 , τ2 ] , что каждая из дуг кривой γ , заключенная между точ-
ками r(ti ) и r(ti+1 ) (i = 1, . . . , n − 1) , является гладкой кривой.
   Определение. Гладкая (или кусочно-гладкая) кривая γ называется
регулярной, если ∀t ∈ [τ1 , τ2 ]
                              ·    ·        ·
                             x 2 + y 2 + z 2 6= 0 ,
         ·
то есть |r (t)| 6= 0 .
    Определение. Точка r(t̃) , t̃ ∈ [τ1 , τ2 ] кривой γ называется точкой
самопересечения, если ∃t ∈ [τ1 , τ2 ] , t 6= t̃ , что r(t̃) = r(t) .
   Замечание. В точках самопересечения кривой касательный вектор
к кривой не единственный.
   Рассмотрим теперь задачу, приводящую к определению криволиней-
ного интеграла I-го рода. Пусть в пространстве задана некоторая непре-
рывная функция трех переменных ρ = f(x, y, z) . Рассмотрим ограни-
чение этой функции на некоторую гладкую регулярную кривую γ , то

                                       68

Страницы