Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а)
Z
. . .
Z
Ω
(x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
) dx
1
. . . dx
n
,
где Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | 0 6 x
1
6 1, . . . , 0 6 x
n
6 1} — единичный куб.
б)
Z
. . .
Z
Ω
(x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
) dx
1
. . . dx
n
,
где Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | x
1
> 0 , . . . , x
n
> 0 , x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
6 1} —
n -мерная пирамида.
в)
Z
. . .
Z
Ω
dx
1
. . . dx
n
q
1 − x
2
1
− x
2
2
− ··· − x
2
n
,
где Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
6
1
4
} — n -мерный шар.
2. Найти объемы n -мерных областей:
а) n -мерного шара радиуса R
Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
6 R
2
} ,
б) n -мерного конуса
Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) |
x
2
1
a
2
1
+
x
2
2
a
2
2
+ ··· +
x
2
n−1
a
2
n−1
6
x
2
n
a
2
n
, 0 6 x
n
6 a
n
} ,
в) n -мерной пирамиды
Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | x
1
> 0 , . . . , x
n
> 0 ,
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+ ··· +
x
n
a
n
6 1} ,
где a
i
> 0 , i = 1, . . . , n .
3. Вычислить несобственные интегралы:
а)
ZZ
E
2
e
−x
2
−y
2
cos(x
2
+ y
2
) dx dy ,
66
    а)                  Z         Z
                            . . . (x21 + x22 + · · · + x2n ) dx1 . . . dxn ,
                        Ω
где Ω = {(x1 , . . . , xn ) | 0 6 x1 6 1, . . . , 0 6 xn 6 1} — единичный куб.
    б)               Z      Z
                            . . . (x1 + x2 + · · · + xn ) dx1 . . . dxn ,
                       Ω
где Ω = {(x1 , . . . , xn ) | x1 > 0 , . . . , xn > 0 , x1 + x2 + · · · + xn 6 1} —
n -мерная пирамида.
    в)                        Z         Z
                                                 dx1 . . . dxn
                                  ...       q                         ,
                                                  2      2          2
                                             1 − x1 − x2 − · · · − xn
                                  Ω
где Ω = {(x1 , . . . , xn ) | x21 + x22 + · · · + x2n 6 1 } — n -мерный шар.
                                                        4
    2. Найти объемы n -мерных областей:
    а) n -мерного шара радиуса R

                     Ω = {(x1 , . . . , xn ) | x21 + x22 + · · · + x2n 6 R2 } ,

    б) n -мерного конуса

                                       x21 x22           x2n−1   x2n
         Ω = {(x1 , . . . , xn ) |        +    + · · · +       6     , 0 6 xn 6 an } ,
                                       a21 a22           a2n−1   a2n

    в) n -мерной пирамиды
                                                                   x1 x2         xn
    Ω = {(x1 , . . . , xn ) | x1 > 0 , . . . , xn > 0 ,              +   + ··· +    6 1} ,
                                                                   a1 a2         an
где ai > 0 , i = 1, . . . , n .
    3. Вычислить несобственные интегралы:
    а)                            ZZ
                                             2
                                                 −y2
                                       e−x             cos(x2 + y2 ) dx dy ,
                                  E2

                                                          66

Страницы