Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и значит последовательность {
˜
I
n
} расходится вопреки предположению,
что интеграл
R
Ω
f dΩ сходится. Противоречие. Значит интеграл
R
Ω
f
+
dΩ
сходится. Аналогично доказывается, что сходится интеграл
R
Ω
f
−
dΩ .
Поскольку |f| = f
+
+ f
−
, то значит сходится интеграл
R
Ω
|f| dΩ . Тео-
рема доказана.
Замечание. Для несобственных интегралов от функций одной пере-
менной теорема 4 неверна, то есть для них существует понятие условной
сходимости, которое для несобственных кратных интегралов теряет свою
содержательность ввиду истинности теоремы 4. Это связано с тем, что
классические определения несобственных интегралов для функций од-
ной переменной и определение несобственных кратных интегралов неэк-
вивалентны. Если мы применим определение несобственных кратных
интегралов к функции одного переменного, то просто получим другую
теорию несобственных интегралов для функций одной переменной, от-
личающуюся от той, которую мы рассмотрели ранее в соответствующем
разделе нашего курса.
Продемонстрируем это отличие на примере несобственного интеграла
на множестве Ω = [a, +∞) . Классическое определение несобственного
интеграла от функции одной переменной в этом случае:
+∞
Z
a
f(x) dx
def
= lim
b→+∞
b
Z
a
f(x) dx .
Если перевести это определение на язык условий 1, 2, 3, то условие 2
будет выглядеть так
[a, b
n
] ⊂ [a, b
n+1
) ,
где b
n
→ +∞ при n → ∞ для обеспечения условия 3. Определение
64
и значит последовательность {Ĩn } расходится вопреки предположению,
             R                                                 R
что интеграл f dΩ сходится. Противоречие. Значит интеграл f+ dΩ
            Ω                                                 RΩ −
сходится. Аналогично доказывается, что сходится интеграл         f dΩ .
                 +    −
                                                        R Ω
Поскольку |f| = f + f , то значит сходится интеграл       |f| dΩ . Тео-
                                                        Ω
рема доказана.
   Замечание. Для несобственных интегралов от функций одной пере-
менной теорема 4 неверна, то есть для них существует понятие условной
сходимости, которое для несобственных кратных интегралов теряет свою
содержательность ввиду истинности теоремы 4. Это связано с тем, что
классические определения несобственных интегралов для функций од-
ной переменной и определение несобственных кратных интегралов неэк-
вивалентны. Если мы применим определение несобственных кратных
интегралов к функции одного переменного, то просто получим другую
теорию несобственных интегралов для функций одной переменной, от-
личающуюся от той, которую мы рассмотрели ранее в соответствующем
разделе нашего курса.
   Продемонстрируем это отличие на примере несобственного интеграла
на множестве Ω = [a, +∞) . Классическое определение несобственного
интеграла от функции одной переменной в этом случае:
                      Z
                     +∞                        Zb
                                  def
                            f(x) dx = lim           f(x) dx .
                                        b→+∞
                        a                      a

Если перевести это определение на язык условий 1, 2, 3, то условие 2
будет выглядеть так
                         [a, bn ] ⊂ [a, bn+1 ) ,
где bn → +∞ при n → ∞ для обеспечения условия 3. Определение




                                        64

Страницы