Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Несобственный интеграл
R
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ называ-
ется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
R
Ω
|f(x
1
, . . . , x
n
)| dΩ .
Теорема 3. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он
сходится.
Доказательство. Обозначим для краткости f = f(x
1
, . . . , x
n
) и введем
функции
f
+
=
|f| + f
2
, f
−
=
|f| − f
2
.
Очевидно
0 6 f
+
6 |f| , 0 6 f
−
6 |f| .
По признаку сравнения сходятся интегралы
R
Ω
f
+
dΩ и
R
Ω
f
−
dΩ , так
как по предположению теоремы сходится интеграл
R
Ω
|f| dΩ . Отсюда в
силу равенства
f = f
+
− f
−
сходится интеграл
R
Ω
f dΩ . Теорема доказана.
Теорема аналогичная теореме 3 была справедлива для несобственных
интегралов в теории функции одной действительной переменной.
Теорема 4. Если несобственный интеграл сходится, то он сходится
абсолютно.
Доказательство. Покажем, что если интеграл
R
Ω
f dΩ сходится, то
сходится интеграл
R
Ω
f
+
dΩ . Предположим противное, то есть, что инте-
грал
R
Ω
f
+
dΩ расходится. Рассмотрим какую-либо последовательность
открытых множеств {Ω
n
} , удовлетворяющую свойствам 1, 2, 3. Посколь-
ку
R
Ω
f dΩ сходится, то последовательность {I
n
}
I
n
=
Z
Ω
n
f dΩ
62
                                               R
   Определение. Несобственный интеграл        f(x1 , . . . , xn ) dΩ называ-
                                           Ω         R
ется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл |f(x1 , . . . , xn )| dΩ .
                                                   Ω
    Теорема 3. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он
сходится.
   Доказательство. Обозначим для краткости f = f(x1 , . . . , xn ) и введем
функции
                           |f| + f − |f| − f
                      f+ =         ,f =           .
                               2            2
Очевидно
                      0 6 f+ 6 |f| , 0 6 f− 6 |f| .
                                               R +           R −
По признаку сравнения сходятся интегралы           f dΩ и      f dΩ , так
                                              Ω       R      Ω
как по предположению теоремы сходится интеграл          |f| dΩ . Отсюда в
                                                      Ω
силу равенства
                              f = f+ − f−
                  R
сходится интеграл   f dΩ . Теорема доказана.
                  Ω
   Теорема аналогичная теореме 3 была справедлива для несобственных
интегралов в теории функции одной действительной переменной.
   Теорема 4. Если несобственный интеграл сходится, то он сходится
абсолютно.
                                               R
   Доказательство. Покажем, что если интеграл    f dΩ сходится, то
                 R +                           Ω
сходится интеграл f dΩ . Предположим противное, то есть, что инте-
     R +         Ω
грал   f dΩ расходится. Рассмотрим какую-либо последовательность
     Ω
открытых множеств {Ωn } , удовлетворяющую свойствам 1, 2, 3. Посколь-
   R
ку f dΩ сходится, то последовательность {In }
   Ω
                                  Z
                            In =    f dΩ
                                   Ωn

                                    62

Страницы