Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

функции z = f(x, y) примет вид
ZZ
D
f(x, y) dx dy = lim
n→∞
ZZ
D
n
f(x, y) dx dy .
Вычислим на основе этого определения интеграл
ZZ
D
dx dy
p
x
2
+ y
2
,
где область D : x
2
+ y
2
< R
2
. Рассмотрим последовательность {D
n
} , где
D
n
= {(x, y) |
R
2
(n + 1)
2
< x
2
+ y
2
< R
2
} . Тогда
ZZ
D
dx dy
p
x
2
+ y
2
= lim
n→∞
2π
Z
0
dϕ
R
Z
R
n+1
dr = lim
n→∞
2πRn
n + 1
= 2πR .
Теорема 2. (Признак сравнения.) Пусть функции y = f(x
1
, . . . , x
n
)
и y = g(x
1
, . . . , x
n
) интегрируемы по Риману на любом замкнутом огра-
ниченном подмножестве открытого множества Ω , причем неравенства
0 6 f(x
1
, . . . , x
n
) 6 g(x
1
, . . . , x
n
)
выполнены в любой точке множества Ω . Тогда
1. из сходимости несобственного интеграла
R
Ω
g(x
1
, . . . , x
n
) dΩ следует
сходимость несобственного интеграла
R
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ ;
2. из расходимости несобственного интеграла
R
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ следует
расходимость несобственного интеграла
R
Ω
g(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
Эта теорема доказывается также, как аналогичная теорема для несоб-
ственных интегралов в теории функции одной действительной перемен-
ной. Подробное проведение этого доказательства оставляем читателю в
качестве упражнения.
61
функции z = f(x, y) примет вид
              ZZ                      ZZ
                  f(x, y) dx dy = lim    f(x, y) dx dy .
                                         n→∞
                 D                                Dn
   Вычислим на основе этого определения интеграл
                          ZZ
                               dx dy
                             p         ,
                               x2 + y2
                          D
где область D : x2 + y2 < R2 . Рассмотрим последовательность {Dn } , где
Dn = {(x, y) |    R2       2    2   2
                      2 < x + y < R } . Тогда
               (n + 1)
         ZZ                       Z
                                  2π        ZR
               dx dy                                          2πRn
              p        = lim           dϕ         dr = lim         = 2πR .
                x2 + y2 n→∞                            n→∞    n+1
         D                        0          R
                                            n+1


   Теорема 2. (Признак сравнения.) Пусть функции y = f(x1 , . . . , xn )
и y = g(x1 , . . . , xn ) интегрируемы по Риману на любом замкнутом огра-
ниченном подмножестве открытого множества Ω , причем неравенства

                     0 6 f(x1 , . . . , xn ) 6 g(x1 , . . . , xn )

выполнены в любой точке множества Ω . Тогда
                                             R
1. из сходимости несобственного интеграла        g(x1 , . . . , xn ) dΩ следует
                                      R     Ω
сходимость несобственного интеграла     f(x1 , . . . , xn ) dΩ ;
                                     Ω        R
2. из расходимости несобственного интеграла f(x1 , . . . , xn ) dΩ следует
                                        R Ω
расходимость несобственного интеграла     g(x1 , . . . , xn ) dΩ .
                                        Ω
    Эта теорема доказывается также, как аналогичная теорема для несоб-
ственных интегралов в теории функции одной действительной перемен-
ной. Подробное проведение этого доказательства оставляем читателю в
качестве упражнения.

                                            61

Страницы