Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим последовательность {D
n
} , где D
n
= {(x, y) | x
2
+ y
2
< n
2
} .
Тогда
ZZ
D
n
e
−x
2
−y
2
dx dy =
2π
Z
0
dϕ
n
Z
0
re
−r
2
dr = π(1 − e
−n
2
) .
Отсюда
ZZ
E
2
e
−x
2
−y
2
dx dy = lim
n→∞
π(1 − e
−n
2
) = π .
Выберем в качестве последовательности {D
n
} последовательность
квадратов D
n
= {(x, y) | |x| < n , |y| < n } . Тогда
ZZ
D
n
e
−x
2
−y
2
dx dy =
n
Z
−n
dx
n
Z
−n
e
−x
2
−y
2
dy =
=
n
Z
−n
e
−x
2
dx
n
Z
−n
e
−y
2
dy =
n
Z
−n
e
−x
2
dx
2
.
Переходя к пределу n →∞ получим, что
+∞
Z
−∞
e
−x
2
dx
2
= π .
Таким образом, мы получили уже знакомый нам интеграл Пуассона
+∞
Z
−∞
e
−x
2
dx =
√
π .
2. Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве D, но неогра-
ничена на этом множестве, и пусть M(x
0
, y
0
) — единственная особая
точка функции z = f(x, y) на множестве D. Рассмотрим последова-
тельность множеств {D
n
} , где D
n
= D \ ρ
n
, множества ρ
n
являются
окрестностями точки M , причем ρ
n
⊃ ρ
n+1
,
+∞
S
n=1
D
n
= D. Тогда опре-
деление несобственного интеграла по множеству D от неограниченной
60
Рассмотрим последовательность {Dn } , где Dn = {(x, y) | x2 + y2 < n2 } .
Тогда
          ZZ                Z
                           2π   Zn
                2  2                    2                2
             e−x −y dx dy = dϕ re−r dr = π(1 − e−n ) .
           Dn                                  0        0

Отсюда          ZZ
                           2
                               −y2                                                2
                     e−x                dx dy = lim π(1 − e−n ) = π .
                                                       n→∞
             E2
   Выберем в качестве последовательности {Dn } последовательность
квадратов Dn = {(x, y) | |x| < n , |y| < n} . Тогда
                ZZ                                     Zn        Zn
                           2        2                                       2
                                                                                −y2
                     e−x       −y
                                        dx dy =             dx        e−x             dy =
                Dn                                     −n        −n

                                                                                      2
                     Zn                   Zn                          Zn
                                2                  2                             2
                =         e−x dx               e−y dy =                   e−x dx .
                     −n                  −n                           −n
Переходя к пределу n → ∞ получим, что
                        +∞     2
                          Z
                        e−x2 dx = π .
                                         −∞

Таким образом, мы получили уже знакомый нам интеграл Пуассона
                                          Z
                                         +∞
                                                   2             √
                                               e−x dx =              π.
                                         −∞

   2. Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве D , но неогра-
ничена на этом множестве, и пусть M(x0 , y0 ) — единственная особая
точка функции z = f(x, y) на множестве D . Рассмотрим последова-
тельность множеств {Dn } , где Dn = D \ ρn , множества ρn являются
                                              S
                                             +∞
окрестностями точки M , причем ρn ⊃ ρn+1 ,      Dn = D . Тогда опре-
                                                                                n=1
деление несобственного интеграла по множеству D от неограниченной

                                                       60

Страницы