Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Необходимость. Несобственный интеграл сходится,
следовательно, последовательность {I
n
} сходится, и значит она ограни-
чена.
Достаточность. Последовательность {I
n
} не убывает, так как
Z
. . .
Z
Ω
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ 6
Z
. . .
Z
Ω
n+1
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
По условию она ограничена и, следовательно, сходится. Покажем, что
любая другая такая последовательность {I
0
n
} тоже сходится.
Рассмотрим последовательность {Ω
0
n
} открытых множеств, облада-
ющих свойствами 1, 2, 3. Очевидно, что в последовательности {Ω
n
} есть
такая подпоследовательность {Ω
k
n
} , что Ω
0
n
⊂ Ω
k
n
, ∀n ∈ N . Отсюда
I
0
n
6 I
k
n
6 I ,
и значит I
0
6 I . Аналогично из Ω
i
n
⊂ Ω
0
n
, ∀n ∈ N будет следовать
I
i
n
6 I
0
n
6 I
0
и I 6 I
0
. Значит I = I
0
. Теорема доказана.
На практике это означает, что для сходящихся несобственных крат-
ных интегралов достаточно провести вычисления относительно одной
последовательности {Ω
n
} со свойствами 1, 2, 3, которая выбирается из
соображений удобства.
Примеры. 1. Пусть Ω = E
2
, {D
n
} — последовательность множеств,
диаметр которых стремится к бесконечности при n →∞, удовлетворя-
ющих свойствам 1, 2, 3. В частности,
+∞
S
n=1
D
n
= E
2
. Тогда определение
несобственного интеграла по всей плоскости E
2
примет вид
ZZ
E
2
f(x, y) dx dy = lim
n→∞
ZZ
D
n
f(x, y) dx dy .
Вычислим на основе этого определения интеграл
ZZ
E
2
e
−x
2
−y
2
dx dy .
59
   Доказательство. Необходимость. Несобственный интеграл сходится,
следовательно, последовательность {In } сходится, и значит она ограни-
чена.
   Достаточность. Последовательность {In } не убывает, так как
          Z      Z                        Z     Z
            . . . f(x1 , . . . , xn ) dΩ 6 . . . f(x1 , . . . , xn ) dΩ .
           Ωn                     Ωn+1
По условию она ограничена и, следовательно, сходится. Покажем, что
любая другая такая последовательность {I 0 n } тоже сходится.
   Рассмотрим последовательность {Ω 0 n } открытых множеств, облада-
ющих свойствами 1, 2, 3. Очевидно, что в последовательности {Ωn } есть
такая подпоследовательность {Ωkn } , что Ω 0 n ⊂ Ωkn , ∀n ∈ N . Отсюда
                               I 0 n 6 I kn 6 I ,
и значит I 0 6 I . Аналогично из Ωin ⊂ Ω 0 n , ∀n ∈ N будет следовать
                                  I in 6 I 0 n 6 I 0
и I 6 I 0 . Значит I = I 0 . Теорема доказана.
   На практике это означает, что для сходящихся несобственных крат-
ных интегралов достаточно провести вычисления относительно одной
последовательности {Ωn } со свойствами 1, 2, 3, которая выбирается из
соображений удобства.
   Примеры. 1. Пусть Ω = E2 , {Dn } — последовательность множеств,
диаметр которых стремится к бесконечности при n → ∞ , удовлетворя-
                                      S
                                     +∞
ющих свойствам 1, 2, 3. В частности,    Dn = E2 . Тогда определение
                                               n=1
несобственного интеграла по всей плоскости E2 примет вид
               ZZ                     ZZ
                  f(x, y) dx dy = lim    f(x, y) dx dy .
                                        n→∞
             E2                     Dn
   Вычислим на основе этого определения интеграл
                         ZZ
                               2  2
                            e−x −y dx dy .
                             E2
                                         59

Страницы