Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F
y
= G
ZZZZZZ
V×V
0
(y − y
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) dx dy dz dx
0
dy
0
dz
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
F
z
= G
ZZZZZZ
V×V
0
(z − z
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) dx dy dz dx
0
dy
0
dz
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
3. В релятивистских теориях пространство событий четырехмерно.
В таких теориях возникают четырехкратные интегралы по областям в
пространстве-времени. Более того, в современной теоретической физике
существуют различные многомерные теории, где n -кратные интегралы
находят свои естественные приложения.
3.5. Несобственные кратные интегралы
В рассмотренной выше теории кратных интегралов Римана суще-
ственным является то обстоятельство, что области интегрирования — это
ограниченные множества, а интегрируемые по Риману функции — это
ограниченные функции на этих множествах. В противном случае инте-
гралы Римана не существуют. В случаях, когда область интегрирования
неограничена и/или функция неограничена в области интегрирования
возникает необходимость ввести понятие несобственного интеграла.
Пусть Ω ⊂ E
n
— открытое множество в n -мерном евклидовом про-
странстве. Рассмотрим в E
n
последовательность открытых множеств
{Ω
n
} ⊂ E
n
, обладающих следующими свойствами:
1.
V
Ω
n
=
Z
. . .
Z
Ω
n
dΩ < +∞, ∀n ∈ N ,
то есть все множества Ω
n
ограничены и имеют конечный объем;
2. замыкание каждого множества последовательности содержится в по-
следующих элементах последовательности
Ω
n
⊂ Ω
n+1
;
57
           ZZZZZZ
                    (y − y 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) dx dy dz dx 0 dy 0 dz 0
  Fy = G                                                                                 ,
                            ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
            V×V 0
           ZZZZZZ
                    (z − z 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) dx dy dz dx 0 dy 0 dz 0
  Fz = G                                                                                 ,
                             ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
            V×V 0
   3. В релятивистских теориях пространство событий четырехмерно.
В таких теориях возникают четырехкратные интегралы по областям в
пространстве-времени. Более того, в современной теоретической физике
существуют различные многомерные теории, где n -кратные интегралы
находят свои естественные приложения.


             3.5. Несобственные кратные интегралы

   В рассмотренной выше теории кратных интегралов Римана суще-
ственным является то обстоятельство, что области интегрирования — это
ограниченные множества, а интегрируемые по Риману функции — это
ограниченные функции на этих множествах. В противном случае инте-
гралы Римана не существуют. В случаях, когда область интегрирования
неограничена и/или функция неограничена в области интегрирования
возникает необходимость ввести понятие несобственного интеграла.
   Пусть Ω ⊂ En — открытое множество в n -мерном евклидовом про-
странстве. Рассмотрим в En последовательность открытых множеств
{Ωn } ⊂ En , обладающих следующими свойствами:
1.                       Z    Z
                   VΩn = . . . dΩ < +∞ , ∀n ∈ N ,
                         Ωn
то есть все множества Ωn ограничены и имеют конечный объем;
2. замыкание каждого множества последовательности содержится в по-
следующих элементах последовательности

                                 Ωn ⊂ Ωn+1 ;

                                         57

Страницы