Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

если якобиан этого отображения:
J =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
1
∂t
1
. . .
∂x
1
∂t
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂x
n
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6= 0
в каждой точке области Ω
0
.
Отображение F можно также задать вектор-функцией
r =
n
X
i=1
x
i
(t
1
, . . . t
n
) e
i
,
где e
i
, i = 1, . . . , n — векторы стандартного базиса пространства E
n
.
В геометрии криволинейной координатной системы можно рассмат-
ривать координатные линии, координатные поверхности разных измере-
ний, координатные гиперповерхности.
Параметры t
1
, . . . , t
n
называются криволинейными координатами в
области Ω . Область Ω
0
вместе с уравнениями перехода (то есть уравне-
ниями, задающими взаимно-однозначное дифференцируемое отображе-
ние F : Ω
0
→Ω ) называется координатной системой в области Ω .
По аналогии с теорией двойных и тройных интегралов можно полу-
чить формулу для элемента объема dΩ в криволинейной системе коор-
динат:
dΩ = |J(t
1
, . . . t
n
)| dt
1
. . . dt
n
,
а также формулу замены переменных в n -кратном интеграле:
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
=
Z
. . .
Z
Ω
0
f(x
1
(t
1
, . . . t
n
), . . . , x
n
(t
1
, . . . t
n
))|J(t
1
, . . . t
n
)| dt
1
. . . dt
n
.
Подробный вывод этих формул предоставляем читателю в качестве
упражнения.
55
если якобиан этого отображения:
                          ¯                 ¯
                          ¯ ∂x1        ∂x 1 ¯
                          ¯ ∂t . . . ∂t ¯
                          ¯    1          n ¯
                          ¯                 ¯
                          ¯ ..   . .    .
                                        .   ¯
                      J=¯ .          .  . ¯ 6= 0
                          ¯                 ¯
                          ¯                 ¯
                          ¯ ∂xn        ∂x n ¯
                          ¯ ∂t . . . ∂t ¯
                               1          n
                          0
в каждой точке области Ω .
   Отображение F можно также задать вектор-функцией
                        Xn
                    r=     xi (t1 , . . . tn ) ei ,
                                              i=1
где ei , i = 1, . . . , n — векторы стандартного базиса пространства En .
    В геометрии криволинейной координатной системы можно рассмат-
ривать координатные линии, координатные поверхности разных измере-
ний, координатные гиперповерхности.
   Параметры t1 , . . . , tn называются криволинейными координатами в
области Ω . Область Ω 0 вместе с уравнениями перехода (то есть уравне-
ниями, задающими взаимно-однозначное дифференцируемое отображе-
ние F : Ω 0 → Ω ) называется координатной системой в области Ω .
   По аналогии с теорией двойных и тройных интегралов можно полу-
чить формулу для элемента объема dΩ в криволинейной системе коор-
динат:
                                  dΩ = |J(t1 , . . . tn )| dt1 . . . dtn ,
а также формулу замены переменных в n -кратном интеграле:
                 Z      Z
                   . . . f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =
                                  Ω
        Z         Z
    =       ...       f(x1 (t1 , . . . tn ), . . . , xn (t1 , . . . tn ))|J(t1 , . . . tn )| dt1 . . . dtn .
      Ω0
   Подробный вывод этих формул предоставляем читателю в качестве
упражнения.

                                                        55

Страницы