Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где d
e
Ω = dx
1
. . . dx
n−1
— элемент объема в координатной гиперплос-
кости x
n
= 0 .
Замечание. Если в полученной формуле свести (n − 1) -кратный
интеграл по области P
x
1
...x
n−1
к повторному, то окончательно можно за-
писать формулу
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
b
1
Z
a
1
dx
1
. . .
b
n−1
Z
a
n−1
dx
n−1
b
n
Z
a
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
причем порядок интегрирования в этом повторном интеграле можно про-
извольно менять.
Рассмотрим область вида Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | (x
1
, . . . , x
n−1
) ∈
e
Ω ,
χ
n
(x
1
, . . . , x
n−1
) 6 x
n
6 X
n
(x
1
, . . . , x
n−1
)} , где x
n
= χ
n
(x
1
, . . . , x
n−1
) и
x
n
= X
n
(x
1
, . . . , x
n−1
) — гладкие функции определенные в области
e
Ω ,
которая является проекцией области Ω на координатную гиперплос-
кость x
n
= 0 . Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) интегрируема в области
Ω и ∀(x
1
, . . . , x
n−1
) ∈
e
Ω существует определенный интеграл Римана
I(x
1
, . . . , x
n−1
) =
X
n
(x
1
,...,x
n−1
)
Z
χ
n
(x
1
,...,x
n−1
)
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
то существует также повторный интеграл
Z
. . .
Z
e
Ω
d
e
Ω
X
n
(x
1
,...,x
n−1
)
Z
χ
n
(x
1
,...,x
n−1
)
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
def
=
Z
. . .
Z
e
Ω
I(x
1
, . . . , x
n−1
) d
e
Ω ,
причем выполняется равенство
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
Z
. . .
Z
e
Ω
d
e
Ω
X
n
(x
1
,...,x
n−1
)
Z
χ
n
(x
1
,...,x
n−1
)
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
где d
e
Ω — элемент объема в координатной гиперплоскости x
n
= 0 .
53
     e = dx1 . . . dxn−1 — элемент объема в координатной гиперплос-
где dΩ
кости xn = 0 .
   Замечание. Если в полученной формуле свести (n − 1) -кратный
интеграл по области Px1 ...xn−1 к повторному, то окончательно можно за-
писать формулу
Z         Z                                            Z1
                                                       b                 Z
                                                                        bn−1                bZn

    ...       f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =           dx1 . . .           dxn−1             f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
 Ω                             a1       an−1     an

причем порядок интегрирования в этом повторном интеграле можно про-
извольно менять.
                                                                            e,
   Рассмотрим область вида Ω = {(x1 , . . . , xn ) | (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Ω
χn (x1 , . . . , xn−1 ) 6 xn 6 Xn (x1 , . . . , xn−1 )} , где xn = χn (x1 , . . . , xn−1 ) и
xn = Xn (x1 , . . . , xn−1 ) — гладкие функции определенные в области Ω                   e,
которая является проекцией области Ω на координатную гиперплос-
кость xn = 0 . Справедлива следующая теорема.
  Теорема 2. Если функция y = f(x1 , . . . , xn ) интегрируема в области
                            e существует определенный интеграл Римана
Ω и ∀(x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Ω
                                                  Xn (x1 ,...,x
                                                          Z n−1 )
                        I(x1 , . . . , xn−1 ) =                        f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
                                                  χn (x1 ,...,xn−1 )

то существует также повторный интеграл
     Z         Z        Xn (x1 ,...,x
                                Z n−1 )                                    Z         Z
                    e                                                def                                        e,
         ...       dΩ                     f(x1 , . . . , xn ) dxn =            ...       I(x1 , . . . , xn−1 ) dΩ
    e
    Ω      χn (x1 ,...,xn−1 )                                                  e
                                                                               Ω
причем выполняется равенство
Z         Z                                            Z         Z         Xn (x1 ,...,x
                                                                                   Z n−1 )
    ...       f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =          ...        e
                                                                     dΩ                           f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
    Ω                                                       e
                                                            Ω              χn (x1 ,...,xn−1 )

     e — элемент объема в координатной гиперплоскости xn = 0 .
где dΩ

                                                           53

Страницы