Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Для области Ω вида
Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | a 6 x
1
6 b, χ
2
(x
1
) 6 x
2
6 X
2
(x
1
),
χ
3
(x
1
, x
2
) 6 x
3
6 X
3
(x
1
, x
2
), . . . , χ
n
(x
1
, . . . , x
n−1
) 6 x
n
6 X
n
(x
1
, . . . , x
n−1
)}
формула сведения n -кратного интеграла к повторному принимает вид
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
=
b
Z
a
dx
1
X
2
(x
1
)
Z
χ
2
(x
1
)
dx
2
X
3
(x
1
,x
2
)
Z
χ
3
(x
1
,x
2
)
dx
3
. . .
X
n
(x
1
,...,x
n−1
)
Z
χ
n
(x
1
,...,x
n−1
)
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
Доказательства теорем 1 и 2 проводятся также, как для аналогичных
теорем в теории двойных и тройных интегралов. Предоставим подробное
проведение этих доказательств читателю в качестве упражнения.
3.3. Замена переменных в n -кратном интеграле
Пусть Ω — область в n -мерном евклидовом пространстве E
n
. Вве-
дем в области Ω некоторые новые произвольные координаты t
1
, . . . , t
n
,
однозначно связанные с декартовыми координатами уравнениями пере-
хода:
F :
x
1
= x
1
(t
1
, . . . t
n
) ,
x
2
= x
2
(t
1
, . . . t
n
) ,
. . . . . . .
x
n
= x
n
(t
1
, . . . t
n
) ,
где x
i
= x
i
(t
1
, . . . t
n
) , i = 1, . . . , n — непрерывно дифференцируемые
функции переменных t
1
, . . . , t
n
. Эти функции определяют взаимно-од-
нозначное дифференцируемое отображение F некоторой области Ω
0
в
пространстве, отнесенном к декартовым координатам t
1
, . . . t
n
на об-
ласть Ω в пространстве, отнесенном к декартовым координатам x
1
, . . . x
n
,
54
    Замечание. Для области Ω вида

              Ω = {(x1 , . . . , xn ) | a 6 x1 6 b, χ2 (x1 ) 6 x2 6 X2 (x1 ),

χ3 (x1 , x2 ) 6 x3 6 X3 (x1 , x2 ), . . . , χn (x1 , . . . , xn−1 ) 6 xn 6 Xn (x1 , . . . , xn−1 )}
формула сведения n -кратного интеграла к повторному принимает вид
                 Z      Z
                   . . . f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =
                                    Ω
             Zb         X2Z(x1 )         X3 (xZ1 ,x2 )               Xn (x1 ,...,x
                                                                             Z n−1 )
         =        dx1              dx2                   dx3 . . .                        f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
             a          χ2 (x1 )         χ3 (x1 ,x2 )                χn (x1 ,...,xn−1 )

    Доказательства теорем 1 и 2 проводятся также, как для аналогичных
теорем в теории двойных и тройных интегралов. Предоставим подробное
проведение этих доказательств читателю в качестве упражнения.


           3.3. Замена переменных в n -кратном интеграле

   Пусть Ω — область в n -мерном евклидовом пространстве En . Вве-
дем в области Ω некоторые новые произвольные координаты t1 , . . . , tn ,
однозначно связанные с декартовыми координатами уравнениями пере-
хода:                   
                        
                          x1 = x1 (t1 , . . . tn ) ,
                        
                        
                         x = x (t , . . . t ) ,
                            2    2 1            n
                     F:
                        
                            . . . . . . .
                        
                        
                         x = x (t , . . . t ) ,
                                                        n      n       1         n

где xi = xi (t1 , . . . tn ) , i = 1, . . . , n — непрерывно дифференцируемые
функции переменных t1 , . . . , tn . Эти функции определяют взаимно-од-
нозначное дифференцируемое отображение F некоторой области Ω 0 в
пространстве, отнесенном к декартовым координатам t1 , . . . tn на об-
ласть Ω в пространстве, отнесенном к декартовым координатам x1 , . . . xn ,

                                                               54

Страницы