Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Приложения n -кратных интегралов
1. Объемы областей в n -мерном пространстве
V
Ω
=
Z
. . .
Z
Ω
dx
1
. . . dx
n
.
2. Задача о гравитирующих телах. Пусть V и V
0
два неоднородных
массивных тела с плотностями ρ = ρ(x, y, z) и ρ
0
= ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) . Тогда
согласно закону Всемирного тяготения (Ньютона) малый элемент перво-
го тела с массой ∆m = ρ ∆V притягивает малый элемент второго тела
с массой ∆m
0
= ρ
0
∆V
0
с силой
∆F = G
∆m ∆m
0
R
3
R ,
где R = r − r
0
, R = |r − r
0
| =
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
. Компо-
ненты вектора ∆F равны
∆F
x
= G
(x − x
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ∆x ∆y ∆z ∆x
0
∆y
0
∆z
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
∆F
y
= G
(y − y
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ∆x ∆y ∆z ∆x
0
∆y
0
∆z
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
∆F
z
= G
(z − z
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ∆x ∆y ∆z ∆x
0
∆y
0
∆z
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
Для вычисления гравитационной силы F , с которой тело V притягивает
тело V
0
необходимо просуммировать все элементарные силы ∆F и устре-
мить объемы всех элементарных областей к нулю. В результате получим,
что эта сила выражается шестикратным интегралом
F = G
ZZZZZZ
V×V
0
R ρ ρ
0
R
3
dV dV
0
по области V × V
0
в 6-мерном пространстве, или покомпонентно:
F
x
= G
ZZZZZZ
V×V
0
(x − x
0
) ρ(x, y, z) ρ
0
(x
0
, y
0
, z
0
) dx dy dz dx
0
dy
0
dz
0
((x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
)
3/2
,
56
                3.4. Приложения n -кратных интегралов

    1. Объемы областей в n -мерном пространстве
                            Z   Z
                      VΩ = . . . dx1 . . . dxn .
                                        Ω
   2. Задача о гравитирующих телах. Пусть V и V 0 два неоднородных
массивных тела с плотностями ρ = ρ(x, y, z) и ρ 0 = ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) . Тогда
согласно закону Всемирного тяготения (Ньютона) малый элемент перво-
го тела с массой ∆m = ρ ∆V притягивает малый элемент второго тела
с массой ∆m 0 = ρ 0 ∆V 0 с силой
                                     ∆m ∆m 0
                            ∆F = G               R,
                                        R3
                                  p
где R = r − r 0 , R = |r − r 0 | = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 . Компо-
ненты вектора ∆F равны
               (x − x 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∆x ∆y ∆z ∆x 0 ∆y 0 ∆z 0
       ∆Fx = G                                                                      ,
                         ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
               (y − y 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∆x ∆y ∆z ∆x 0 ∆y 0 ∆z 0
     ∆Fy = G                                                                         ,
                         ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
               (z − z 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ∆x ∆y ∆z ∆x 0 ∆y 0 ∆z 0
      ∆Fz = G                                                                       ,
                         ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
Для вычисления гравитационной силы F , с которой тело V притягивает
тело V 0 необходимо просуммировать все элементарные силы ∆F и устре-
мить объемы всех элементарных областей к нулю. В результате получим,
что эта сила выражается шестикратным интегралом
                         ZZZZZZ
                                  R ρ ρ0
                   F=G               3
                                         dV dV 0
                                   R
                                       V×V 0

по области V × V 0 в 6-мерном пространстве, или покомпонентно:
         ZZZZZZ
                    (x − x 0 ) ρ(x, y, z) ρ 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) dx dy dz dx 0 dy 0 dz 0
  Fx = G                                                                                 ,
                            ((x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
                V×V 0

                                               56

Страницы