Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3. объединение всех множеств последовательности дает множество Ω
+∞
[
n=1
Ω
n
= Ω .
Пусть функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) определена на множестве Ω и ин-
тегрируема по Риману на любом замкнутом ограниченном подмножестве
множества Ω . Рассмотрим последовательность {I
n
} , где
I
n
=
Z
. . .
Z
Ω
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
Определение. Если для любой последовательности {Ω
n
} открытых
множеств, обладающих свойствами 1, 2, 3 существует предел
I = lim
n→∞
I
n
и этот предел не зависит от выбора последовательности {Ω
n
} , то его
называют несобственным интегралом от функции y = f(x
1
, . . . , x
n
) по
множеству Ω и обозначают
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называ-
ется сходящимся, в противном случае он называется расходящимся.
Теорема 1. Для сходимости несобственного интеграла от неотрица-
тельной на множестве Ω функции y = f(x
1
, . . . , x
n
) , необходимо и до-
статочно, чтобы хотя бы для одной последовательности {Ω
n
} открытых
множеств, обладающих свойствами 1, 2, 3, была ограничена числовая
последовательность {I
n
}
I
n
=
Z
. . .
Z
Ω
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
58
3. объединение всех множеств последовательности дает множество Ω
                                +∞
                                 [
                                      Ωn = Ω .
                                n=1

   Пусть функция y = f(x1 , . . . , xn ) определена на множестве Ω и ин-
тегрируема по Риману на любом замкнутом ограниченном подмножестве
множества Ω . Рассмотрим последовательность {In } , где
                         Z      Z
                    In = . . . f(x1 , . . . , xn ) dΩ .
                              Ωn
   Определение. Если для любой последовательности {Ωn } открытых
множеств, обладающих свойствами 1, 2, 3 существует предел

                                 I = lim In
                                       n→∞

и этот предел не зависит от выбора последовательности {Ωn } , то его
называют несобственным интегралом от функции y = f(x1 , . . . , xn ) по
множеству Ω и обозначают
                     Z      Z
                       . . . f(x1 , . . . , xn ) dΩ .
                            Ω
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называ-
ется сходящимся, в противном случае он называется расходящимся.
   Теорема 1. Для сходимости несобственного интеграла от неотрица-
тельной на множестве Ω функции y = f(x1 , . . . , xn ) , необходимо и до-
статочно, чтобы хотя бы для одной последовательности {Ωn } открытых
множеств, обладающих свойствами 1, 2, 3, была ограничена числовая
последовательность {In }
                         Z    Z
                    In = . . . f(x1 , . . . , xn ) dΩ .
                              Ωn


                                       58

Страницы