Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3. Если функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) непрерывна в области
Ω , то она интегрируема в этой области.
Теорема 4. Если ограниченная функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) имеет в
области Ω разрывы разве лишь на конечном числе гладких гиперпо-
верхностей, то она интегрируема по Риману в этой области.
Свойства n -кратного интеграла аналогичны свойствам двойного и
тройного интегралов. Предоставим формулировку и доказательство этих
свойств читателю в качестве упражнения.
3.2. Сведение n -кратного интеграла к повторному
Пусть P = {(x
1
, . . . , x
n
) | a
1
6 x
1
6 b
1
, . . . , a
n
6 x
n
6 b
n
} —
параллелепипед в n -мерном евклидовом пространстве.
Теорема 1. Если функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) интегрируема в парал-
лелепипеде P и ∀(x
1
, . . . , x
n−1
) ∈ P
x
1
...x
n−1
P
x
1
...x
n−1
= {(x
1
, . . . , x
n−1
) | a
1
6 x
1
6 b
1
, . . . , a
n−1
6 x
n−1
6 b
n−1
}
существует определенный интеграл Римана
I(x
1
, . . . , x
n−1
) =
b
n
Z
a
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
то существует также повторный интеграл
Z
. . .
Z
P
x
1
...x
n−1
d
e
Ω
b
n
Z
a
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
def
=
Z
. . .
Z
P
x
1
...x
n−1
I(x
1
, . . . , x
n−1
) d
e
Ω ,
причем выполняется равенство
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
Z
. . .
Z
P
x
1
...x
n−1
d
e
Ω
b
n
Z
a
n
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
,
52
     Теорема 3. Если функция y = f(x1 , . . . , xn ) непрерывна в области
Ω , то она интегрируема в этой области.
    Теорема 4. Если ограниченная функция y = f(x1 , . . . , xn ) имеет в
области Ω разрывы разве лишь на конечном числе гладких гиперпо-
верхностей, то она интегрируема по Риману в этой области.
   Свойства n -кратного интеграла аналогичны свойствам двойного и
тройного интегралов. Предоставим формулировку и доказательство этих
свойств читателю в качестве упражнения.


              3.2. Сведение n -кратного интеграла к повторному

     Пусть P = {(x1 , . . . , xn ) | a1 6 x1 6 b1 , . . . , an 6 xn 6 bn } —
параллелепипед в n -мерном евклидовом пространстве.
   Теорема 1. Если функция y = f(x1 , . . . , xn ) интегрируема в парал-
лелепипеде P и ∀(x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Px1 ...xn−1

    Px1 ...xn−1 = {(x1 , . . . , xn−1 ) | a1 6 x1 6 b1 , . . . , an−1 6 xn−1 6 bn−1 }

существует определенный интеграл Римана
                                                       bZn

                             I(x1 , . . . , xn−1 ) =         f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
                                                       an

то существует также повторный интеграл
        Z           Z        bZn                                         Z         Z
                         e                                   def                                               e,
              ...       dΩ         f(x1 , . . . , xn ) dxn =                 ...        I(x1 , . . . , xn−1 ) dΩ
              Px1 ...xn−1    an                                              Px1 ...xn−1
причем выполняется равенство
Z         Z                                                    Z         Z              bZn

    ...        f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =                 ...              e
                                                                                   dΩ         f(x1 , . . . , xn ) dxn ,
    Ω                                                              Px1 ...xn−1          an



                                                       52

Страницы