Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Для n -кратного интеграла также используется обозна-
чение
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ ,
где подразумевается, что символ интеграла повторен n раз. В случае
небольших размерностей пространства символы интеграла явно выпи-
сываются n раз. Мы будем использовать далее это обозначение, чтобы
явно выделить n -кратные интегралы. Следует однако учесть, что это
обозначение в современной литературе считается устаревшим. Мы ис-
пользуем его здесь исключительно в эвристических целях.
Отнесем область Ω к прямоугольным координатам и допустим, что
элементарные объемы ∆Ω
i
получаются путем разбиения объема всей об-
ласти Ω на прямоугольные n -мерные параллелепипеды со сторонами
∆
(i)
x
1
, . . . , ∆
(i)
x
n
. Тогда мы можем написать, что ∆Ω
i
= ∆
(i)
x
1
. . . ∆
(i)
x
n
для всех i . Выражение dΩ = dx
1
. . . dx
n
называется элементом объе-
ма в прямоугольных координатах. Таким образом, определение n -крат-
ного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат примет
вид:
Z
. . .
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
= lim
∆x
1
max
→0
. . .
∆x
n
max
→0
n
X
i=1
f(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) ∆
(i)
x
1
. . . ∆
(i)
x
n
,
где ∆x
k
max
= max
i
∆
(i)
x
k
(k = 1, . . . , n) .
Теория n -кратного интеграла строится по той же схеме, что и теория
двойного и тройного интегралов.
Определение. Функция y = f (x
1
, . . . , x
n
) называется интегрируе-
мой по Риману в области Ω , если для нее существует n -кратный инте-
грал Римана по этой области.
50
    Замечание. Для n -кратного интеграла также используется обозна-
чение                        Z         Z
                                 ...       f(x1 , . . . , xn ) dΩ ,
                        Ω
где подразумевается, что символ интеграла повторен n раз. В случае
небольших размерностей пространства символы интеграла явно выпи-
сываются n раз. Мы будем использовать далее это обозначение, чтобы
явно выделить n -кратные интегралы. Следует однако учесть, что это
обозначение в современной литературе считается устаревшим. Мы ис-
пользуем его здесь исключительно в эвристических целях.
   Отнесем область Ω к прямоугольным координатам и допустим, что
элементарные объемы ∆Ωi получаются путем разбиения объема всей об-
ласти Ω на прямоугольные n -мерные параллелепипеды со сторонами
  (i)        (i)                                                                    (i)            (i)
∆ x 1 , . . . , ∆ x n . Тогда мы можем написать, что ∆Ωi = ∆ x 1 . . . ∆ x n
для всех i . Выражение dΩ = dx1 . . . dxn называется элементом объе-
ма в прямоугольных координатах. Таким образом, определение n -крат-
ного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат примет
вид:      Z      Z
            . . . f(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =
             Ω
                                               n
                                               X        (i)        (i)      (i)           (i)
                             =      lim               f( x 1 , . . . , x n ) ∆ x 1 . . . ∆ x n ,
                                 ∆x1 max →0
                                     ...        i=1
                                 ∆xn max →0
                       (i)
где ∆xkmax = max ∆ x k (k = 1, . . . , n) .
                   i
   Теория n -кратного интеграла строится по той же схеме, что и теория
двойного и тройного интегралов.
   Определение. Функция y = f(x1 , . . . , xn ) называется интегрируе-
мой по Риману в области Ω , если для нее существует n -кратный инте-
грал Римана по этой области.


                                                50

Страницы