Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1. Если функция y = f(x
1
, . . . , x
n
) интегрируема по Рима-
ну в области Ω , то она ограничена в этой области.
Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для n -кратного
интеграла определяются следующим образом:
s
def
=
n
X
i=1
m
i
∆Ω
i
, S
def
=
n
X
i=1
M
i
∆Ω
i
,
где
m
i
= inf
(x
1
,...,x
n
)∈Ω
i
f(x
1
, . . . , x
n
) , M
i
= sup
(x
1
,...,x
n
)∈Ω
i
f(x
1
, . . . , x
n
) .
Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области Ω проведением новых гипер-
поверхностей деления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не
возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области Ω на элементарные
области.
3) При данном разбиении и независимо от выбора точек (
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
)
будут выполняться неравенства
s 6 σ 6 S .
Определение. Нижний I
∗
и верхний I
∗
интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:
I
∗
= sup
T
s , I
∗
= inf
T
S ,
где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области Ω .
Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
lim
∆Ω
max
→0
(S − s) = 0
или, что тоже
I
∗
= I
∗
.
51
      Теорема 1. Если функция y = f(x1 , . . . , xn ) интегрируема по Рима-
ну в области Ω , то она ограничена в этой области.
   Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для n -кратного
интеграла определяются следующим образом:
                                   n
                                   X                           n
                                                               X
                            def                          def
                         s=              mi ∆Ωi , S =                Mi ∆Ωi ,
                                   i=1                         i=1
где

        mi =      inf             f(x1 , . . . , xn ) , Mi =         sup          f(x1 , . . . , xn ) .
               (x1 ,...,xn )∈Ωi                                (x1 ,...,xn )∈Ωi

      Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области Ω проведением новых гипер-
поверхностей деления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не
возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области Ω на элементарные
области.
                                                      (i)            (i)
3) При данном разбиении и независимо от выбора точек ( x 1 , . . . , x n )
будут выполняться неравенства

                                             s6σ6S.

   Определение. Нижний I∗ и верхний I∗ интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:

                                     I∗ = sup s , I∗ = inf S ,
                                             T                  T

где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области Ω .
    Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
                                           lim (S − s) = 0
                                         ∆Ωmax →0
или, что тоже
                                                 I∗ = I∗ .

                                                    51

Страницы