Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3. n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Определение n -кратного интеграла
Пусть y = f(x
1
, . . . , x
n
) функция n переменных, определенная на
области Ω n -мерного евклидова пространства E
n
. Разложим область
Ω сетью гиперповерхностей на элементарные (малые) области Ω
1
, . . . , Ω
m
с объемами ∆Ω
1
, . . . , ∆Ω
m
. Выберем в каждой элементарной области Ω
i
по одной произвольной точке с координатами (
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) и составим
сумму
σ =
m
X
i=1
f(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) ∆Ω
i
.
Определение. Конечный предел суммы
σ =
m
X
i=1
f(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) ∆Ω
i
при беспредельном уменьшении объемов ∆Ω
i
элементарных областей
Ω
i
и беспредельном возрастании числа m элементарных областей назы-
вается n -кратным интегралом (Римана) от функции y = f(x
1
, . . . , x
n
)
по области Ω и обозначается символом:
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области Ω ,
ни от выбора точек (
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) внутри элементарных областей Ω
i
.
Итак,
Z
Ω
f(x
1
, . . . , x
n
) dΩ
def
= lim
∆Ω
max
→0
m
X
i=1
f(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
) ∆Ω
i
,
где ∆Ω
max
= max
i
∆Ω
i
.
49
                       3.   n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

                3.1. Определение n -кратного интеграла

   Пусть y = f(x1 , . . . , xn ) функция n переменных, определенная на
области Ω n -мерного евклидова пространства En . Разложим область
Ω сетью гиперповерхностей на элементарные (малые) области Ω1 , . . . , Ωm
с объемами ∆Ω1 , . . . , ∆Ωm . Выберем в каждой элементарной области Ωi
                                                                        (i)         (i)
по одной произвольной точке с координатами ( x 1 , . . . , x n ) и составим
сумму
                        Xm
                              (i)            (i)
                    σ=      f( x 1 , . . . , x n ) ∆Ωi .
                                  i=1
   Определение. Конечный предел суммы
                                  m
                                  X            (i)         (i)
                             σ=          f( x 1 , . . . , x n ) ∆Ωi
                                  i=1

при беспредельном уменьшении объемов ∆Ωi элементарных областей
Ωi и беспредельном возрастании числа m элементарных областей назы-
вается n -кратным интегралом (Римана) от функции y = f(x1 , . . . , xn )
по области Ω и обозначается символом:
                        Z
                          f(x1 , . . . , xn ) dΩ .
                                  Ω

Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области Ω ,
                            (i)          (i)
ни от выбора точек ( x 1 , . . . , x n ) внутри элементарных областей Ωi .
Итак,
          Z                                               m
                                                          X
                                   def                            (i)         (i)
              f(x1 , . . . , xn ) dΩ =          lim             f( x 1 , . . . , x n ) ∆Ωi ,
                                          ∆Ωmax →0
          Ω                                               i=1

где ∆Ωmax = max ∆Ωi .
                   i


                                                     49

Страницы