Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

сходится к конечному числу I , а последовательность {I
+
n
}
I
+
n
=
Z
Ω
n
f
+
dΩ
расходится, то есть I
+
n
→+∞ при n →∞.
Расходимость последовательности {I
+
n
} означает, что ∀A > 0 сколь
угодно большого и ∀n ∈ N , ∃m ∈ N , что I
+
n+m
− I
+
n
> A . В частности,
∃m ∈ N такое, что I
+
n+m
− I
+
n
> n .
Очевидно, что ∀Ω
n
существует такое подмножество Ω
+
n
⊂ Ω
n
, что
f
+
≡ 0 для любой точки множества Ω
n
\ Ω
+
n
. В частности, это означает,
что
I
+
n
=
Z
Ω
n
f
+
dΩ =
Z
Ω
+
n
f
+
dΩ .
Имеем цепочку вложений
Ω
1
⊂ Ω
2
⊂ . . . ⊂ Ω
n
⊂ . . .
∪ ∪ ∪
Ω
+
1
⊂ Ω
+
2
⊂ . . . ⊂ Ω
+
n
⊂ . . .
Построим новую последовательность множеств {
e
Ω
n
} следующим об-
разом
e
Ω
n
= Ω
n
∪ (Ω
+
n+m
\ Ω
+
n
) ,
где номер m выбирается для каждого номера n так, что I
+
n+m
−I
+
n
> n .
Очевидно, что последовательность {
e
Ω
n
} удовлетворяет свойствам 1, 2,
3. По теореме 1 должно быть
˜
I
n
=
Z
e
Ω
n
f dΩ →I при n →∞,
но с другой стороны в силу того, что интеграл
R
Ω
f
+
dΩ расходится, мы
видим
˜
I
n
=
Z
e
Ω
n
f dΩ =
Z
Ω
n
f dΩ +
Z
Ω
+
n+m
\ Ω
+
n
f dΩ =
Z
Ω
n
f dΩ +
Z
Ω
+
n+m
\ Ω
+
n
f
+
dΩ > I
n
+ n ,
63
сходится к конечному числу I , а последовательность {I+
                                                      n}
                                  Z
                           I+
                            n =     f+ dΩ
                              Ωn
расходится, то есть I+
                     n → +∞ при n → ∞ .
   Расходимость последовательности {I+n } означает, что ∀A > 0 сколь
угодно большого и ∀n ∈ N , ∃m ∈ N , что I+       +
                                          n+m − In > A . В частности,
∃m ∈ N такое, что I+      +
                   n+m − In > n .
   Очевидно, что ∀Ωn существует такое подмножество Ω+   n ⊂ Ωn , что
f+ ≡ 0 для любой точки множества Ωn \ Ω+
                                       n . В частности, это означает,
что                           Z               Z
                     I+
                      n   =        +
                                   f dΩ =         f+ dΩ .
                              Ωn             Ω+
                                              n
Имеем цепочку вложений
                  Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ . . . ⊂ Ωn ⊂ . . .
                  ∪     ∪            ∪
                  Ω+      +            +
                    1 ⊂ Ω2 ⊂ . . . ⊂ Ωn ⊂ . . .
                                               e n } следующим об-
   Построим новую последовательность множеств {Ω
разом
                    e n = Ωn ∪ (Ω+ \ Ω+ ) ,
                    Ω                       n+m     n

где номер m выбирается для каждого номера n так, что I+       +
                                                        n+m −In > n .
                                  e n } удовлетворяет свойствам 1, 2,
Очевидно, что последовательность {Ω
3. По теореме 1 должно быть
                         Z
                   Ĩn =   f dΩ → I при n → ∞ ,
                        en
                        Ω
                                               R
но с другой стороны в силу того, что интеграл f+ dΩ расходится, мы
                                              Ω
видим
       Z         Z           Z          Z        Z
 Ĩn =   f dΩ =    f dΩ +      f dΩ =     f dΩ +   f+ dΩ > In + n ,
      en
      Ω         Ωn        Ω+      +
                           n+m \ Ωn
                                              Ωn        Ω+      +
                                                         n+m \ Ωn

                                       63

Страницы