Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

несобственного интеграла примет вид
+∞
Z
a
f(x) dx
def
= lim
n→+∞
Z
[a, b
n
)
f(x) dx . (∗)
Таким образом, левый конец у всех множеств последовательности вло-
женных промежутков {Ω
n
} = {[a, b
n
)} совпадает. Это требование со-
держится в самом определении несобственного интеграла. Кроме того,
фактически требуется, чтобы все множества {Ω
n
} были связны.
Условие 2 теории несобственных кратных интегралов при примене-
нии его к функции одной переменной не будет содержать условие фикси-
рованности левого конца. Например, качестве последовательности {Ω
n
}
можно, в частности, рассматривать последовательность вложенных ин-
тервалов {Ω
n
} = {(a
n
, b
n
)} , для которой условия 2 и 3 примут вид
[a
n
, b
n
] ⊂ (a
n+1
, b
n+1
) ,
где a
n
→ a и b
n
→ +∞ при n → ∞. Можно также брать более
сложные примеры последовательностей {Ω
n
} , например такие, в кото-
рых каждое множество состоит из объединения непересекающихся ин-
тервалов, и, таким образом, требование связности здесь также отсут-
ствует. Определение несобственного интеграла в этом случае запишем в
виде
Z
[a, +∞)
f(x) dx
def
= lim
n→+∞
Z
Ω
n
f(x) dx ,
где {Ω
n
} — любая последовательность открытых подмножеств числовой
оси, удовлетворяющая условиям 1, 2, 3, что, очевидно, не совпадает с
определением (*), где эти последовательности весьма специального вида.
3.6. Упражнения
1. Вычислить n -кратные интегралы:
65
несобственного интеграла примет вид
                    Z
                   +∞                              Z
                                   def
                        f(x) dx = lim                   f(x) dx .   (∗)
                                         n→+∞
                    a                           [a, bn )
Таким образом, левый конец у всех множеств последовательности вло-
женных промежутков {Ωn } = {[a, bn )} совпадает. Это требование со-
держится в самом определении несобственного интеграла. Кроме того,
фактически требуется, чтобы все множества {Ωn } были связны.
   Условие 2 теории несобственных кратных интегралов при примене-
нии его к функции одной переменной не будет содержать условие фикси-
рованности левого конца. Например, качестве последовательности {Ωn }
можно, в частности, рассматривать последовательность вложенных ин-
тервалов {Ωn } = {(an , bn )} , для которой условия 2 и 3 примут вид

                            [an , bn ] ⊂ (an+1 , bn+1 ) ,

где an → a и bn → +∞ при n → ∞ . Можно также брать более
сложные примеры последовательностей {Ωn } , например такие, в кото-
рых каждое множество состоит из объединения непересекающихся ин-
тервалов, и, таким образом, требование связности здесь также отсут-
ствует. Определение несобственного интеграла в этом случае запишем в
виде                    Z                           Z
                                     def
                            f(x) dx = lim               f(x) dx ,
                                           n→+∞
                  [a, +∞)                          Ωn
где {Ωn } — любая последовательность открытых подмножеств числовой
оси, удовлетворяющая условиям 1, 2, 3, что, очевидно, не совпадает с
определением (*), где эти последовательности весьма специального вида.


                              3.6. Упражнения

   1. Вычислить n -кратные интегралы:

                                           65

Страницы