Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, мы получили следующую формулу:
Z
γ
f(x, y, z) dl =
τ
2
Z
τ
1
f(x(t), y(t), z(t))
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
+ (z
0
(t))
2
dt ,
которая называется формулой сведения криволинейного интеграла I-го
рода к определенному интегралу и служит для вычисления криволиней-
ных интегралов I-го рода в конкретных задачах.
Выражение
dl =
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
+ (z
0
(t))
2
dt ,
называется элементом длины кривой.
Пример. Найти массу дуги винтовой линии
γ :
x = a cos t ,
y = a sin t ,
z = h t ,
от точки (a, 0, 0) до точки (a, 0, 2πh) , если плотность ρ в каждой ее
точке выражается формулой ρ = kt
2
(k > 0) .
Решение. Точке (a, 0, 0) отвечает значение параметра t = 0 , а точке
(a, 0, 2πh) — значение параметра t = 2π . Элемент длины данной кривой
вычисляется по общей формуле, при подстановке в которую конкретных
функций задачи получим следующее выражение:
dl =
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
+ (z
0
(t))
2
dt =
p
a
2
+ h
2
dt .
Масса этой кривой вычисляется через криволинейный интеграл I-го ро-
да:
m =
Z
γ
ρ dl =
2π
Z
0
kt
2
p
a
2
+ h
2
dt =
8
3
π
3
k
p
a
2
+ h
2
.
72
      Таким образом, мы получили следующую формулу:
  Z                     τZ2
                                                    q
      f(x, y, z) dl =         f(x(t), y(t), z(t))       (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt ,
 γ                      τ1

которая называется формулой сведения криволинейного интеграла I-го
рода к определенному интегралу и служит для вычисления криволиней-
ных интегралов I-го рода в конкретных задачах.
   Выражение
                     q
               dl = (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt ,

называется элементом длины кривой.
   Пример. Найти массу дуги винтовой линии
                           
                           
                            x = a cos t ,
                        γ:   y = a sin t ,
                           
                           
                             z = ht      ,

от точки (a, 0, 0) до точки (a, 0, 2πh) , если плотность ρ в каждой ее
точке выражается формулой ρ = kt2 (k > 0) .
      Решение. Точке (a, 0, 0) отвечает значение параметра t = 0 , а точке
(a, 0, 2πh) — значение параметра t = 2π . Элемент длины данной кривой
вычисляется по общей формуле, при подстановке в которую конкретных
функций задачи получим следующее выражение:
            q                                        p
       dl = (x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt = a2 + h2 dt .

Масса этой кривой вычисляется через криволинейный интеграл I-го ро-
да:
               Z       Z
                      2π
                            p
                          2               8 3 p 2
          m = ρ dl = kt a + h dt = π k a + h2 .
                               2    2
                                          3
              γ        0




                                               72

Страницы