Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где кривая γ — это участок параболы y = x
2
(0 6 x 6 2) .
Решение. Поскольку
dl =
q
1 + (y
0
(x))
2
dx =
p
1 + 4x
2
dx ,
имеем:
Z
γ
y
√
1 + 4x
2
dl =
2
Z
0
x
2
dx =
8
3
.
4.4. Определение криволинейного интеграла II-го рода
Пусть снова в трехмерном пространстве координат x , y , z задана
некоторая кривая:
γ :
x = x(t) ,
y = y(t) ,
z = z(t) ,
с изменением параметра t в пределах τ
1
6 t 6 τ
2
. И пусть задана
некоторая вектор-функция:
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,
где i , j и k — векторы стандартного базиса трехмерного пространства.
Таким образом, вектор-функция сопоставляет каждой точке трехмер-
ного пространства некоторый вектор F с декартовыми координатами
(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) .
Определение. Если каждой точке некоторой области пространства
сопоставлен вектор, то говорят, что в этой области задано векторное
поле.
Дадим определение ориентированной кривой, важное для построения
теории криволинейных интегралов II-го рода. Если точка, отвечающая
параметру t , движется по кривой γ в направлении от конца, отвечающе-
го значению параметра τ
1
, к концу, отвечающему значению параметра
74
где кривая γ — это участок параболы y = x2 (0 6 x 6 2) .
    Решение. Поскольку
                    q                   p
                dl = 1 + (y 0 (x))2 dx = 1 + 4x2 dx ,

имеем:
                     Z                    Z2
                             y                           8
                         √         dl =        x2 dx =     .
                           1 + 4x2                       3
                     γ                    0



    4.4. Определение криволинейного интеграла II-го рода

   Пусть снова в трехмерном пространстве координат x , y , z задана
некоторая кривая:           
                            
                             x = x(t) ,
                         γ:   y = y(t) ,
                            
                            
                              z = z(t) ,
с изменением параметра t в пределах τ1 6 t 6 τ2 . И пусть задана
некоторая вектор-функция:

          F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,

где i , j и k — векторы стандартного базиса трехмерного пространства.
Таким образом, вектор-функция сопоставляет каждой точке трехмер-
ного пространства некоторый вектор F с декартовыми координатами
(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) .
   Определение. Если каждой точке некоторой области пространства
сопоставлен вектор, то говорят, что в этой области задано векторное
поле.
   Дадим определение ориентированной кривой, важное для построения
теории криволинейных интегралов II-го рода. Если точка, отвечающая
параметру t , движется по кривой γ в направлении от конца, отвечающе-
го значению параметра τ1 , к концу, отвечающему значению параметра

                                     74

Страницы