Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 2. Определение криволинейного интеграла II-го рода в
n -мерном евклидовом пространстве E
n
:
Z
γ
(F(x
1
, . . . , x
n
), dl)
def
= lim
∆l
max
→0
n
X
i=1
(F(
(i)
x
1
, . . . ,
(i)
x
n
), ∆l
i
) ,
Z
γ
(F(x
1
, . . . , x
n
), dl) =
Z
γ
F
1
(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
+ ··· + F
n
(x
1
, . . . , x
n
) dx
n
.
Теория криволинейных интегралов II-го рода строится аналогично
теориям кратных интегралов и криволинейных интегралов I-го рода.
4.5. Сведение криволинейного интеграла II-го рода
к определенному интегралу
Рассмотрим вновь разбиение кривой γ на малые дуги γ
i
с длинами
∆l
i
. Каждой точке (x
i
, y
i
, z
i
) кривой γ внутри i-ой дуги соответствует
некоторое значение параметра t
i
, в силу чего интегральную сумму для
криволинейного интеграла II-го рода можно переписать в виде:
Z
γ
(F(x, y, z), dl) = lim
∆t
max
→0
n
X
i=1
(F(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
)),
∆l
i
∆t
i
) ∆t
i
=
= lim
∆t
max
→0
n
X
i=1
µ
P(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
))
∆x
i
∆t
i
+ Q(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
))
∆y
i
∆t
i
+
+R(x(t
i
), y(t
i
), z(t
i
))
∆z
i
∆t
i
∆t
i
,
где мы дополнительно умножили и разделили каждое слагаемое в полу-
чившемся выражении на ∆t
i
и воспользовались тем фактом, что если
∆t
i
→0 , то и ∆l
i
→0 . Полученная интегральная сумма является инте-
гральной суммой для определенного интеграла:
τ
2
Z
τ
1
(P(x(t), y(t), z(t))x
0
(t)+Q(x(t), y(t), z(t))y
0
(t)+R(x(t), y(t), z(t))z
0
(t)) dt,
78
      Замечание 2. Определение криволинейного интеграла II-го рода в
n -мерном евклидовом пространстве En :
        Z                                           X n
                                      def                  (i)            (i)
            (F(x1 , . . . , xn ), dl) = lim             (F( x 1 , . . . , x n ), ∆li ) ,
                                          ∆lmax →0
        γ                                           i=1
  Z                              Z
    (F(x1 , . . . , xn ), dl) = F1 (x1 , . . . , xn ) dx1 + · · · + Fn (x1 , . . . , xn ) dxn .
 γ                              γ
    Теория криволинейных интегралов II-го рода строится аналогично
теориям кратных интегралов и криволинейных интегралов I-го рода.

        4.5. Сведение криволинейного интеграла II-го рода
                      к определенному интегралу

      Рассмотрим вновь разбиение кривой γ на малые дуги γi с длинами
∆li . Каждой точке (xi , yi , zi ) кривой γ внутри i-ой дуги соответствует
некоторое значение параметра ti , в силу чего интегральную сумму для
криволинейного интеграла II-го рода можно переписать в виде:
      Z                               X n
                                                                       ∆li
        (F(x, y, z), dl) = lim             (F(x(ti ), y(ti ), z(ti )),     ) ∆ti =
                           ∆tmax →0                                    ∆ti
      γ                                i=1

               Xn µ
                                               ∆xi                              ∆yi
   = lim             P(x(ti ), y(ti ), z(ti ))     + Q(x(ti ), y(ti ), z(ti ))      +
      ∆tmax →0                                 ∆ti                              ∆ti
               i=1
                                                       ¶
                                                   ∆zi
                        +R(x(ti ), y(ti ), z(ti ))        ∆ti ,
                                                   ∆ti
где мы дополнительно умножили и разделили каждое слагаемое в полу-
чившемся выражении на ∆ti и воспользовались тем фактом, что если
∆ti → 0 , то и ∆li → 0 . Полученная интегральная сумма является инте-
гральной суммой для определенного интеграла:
τZ2

  (P(x(t), y(t), z(t))x 0 (t)+Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t)+R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t)) dt,
τ1

                                              78

Страницы