Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

иметь:
Z
γ
xy dx +
y
x
dy =
2
Z
0
(x
3
+ 2x) dx = 8 .
4.7. Потенциальное векторное поле
Определение. Векторное поле
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,
называется потенциальным, если существует такая дифференцируемая
функция U = U(x, y, z) , что
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
,
для всех точек области определения поля. Функция U(x, y, z) называ-
ется потенциалом векторного поля F(x, y, z) .
Очевидно, что если функция U(x, y, z) является потенциалом век-
торного поля F(x, y, z) , то U(x, y, z) + C (C = const) тоже является
потенциалом этого векторного поля.
Теорема 1. Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,
было потенциальным, необходимо выполнение следующих условий:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
=
∂R
∂x
,
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
для всех точек области определения поля.
Доказательство. Пусть функция U(x, y, z) является потенциалом век-
торного поля F(x, y, z) , тогда:
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
.
81
иметь:
                  Z               Z2
                             y
                      xy dx + dy = (x3 + 2x) dx = 8 .
                             x
                  γ                    0



                4.7. Потенциальное векторное поле

   Определение. Векторное поле

           F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,

называется потенциальным, если существует такая дифференцируемая
функция U = U(x, y, z) , что
                            ∂U      ∂U      ∂U
                       P=      , Q=    , R=    ,
                            ∂x      ∂y      ∂z
для всех точек области определения поля. Функция U(x, y, z) называ-
ется потенциалом векторного поля F(x, y, z) .
   Очевидно, что если функция U(x, y, z) является потенциалом век-
торного поля F(x, y, z) , то U(x, y, z) + C (C = const) тоже является
потенциалом этого векторного поля.
   Теорема 1. Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле

           F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ,

было потенциальным, необходимо выполнение следующих условий:
                      ∂P   ∂Q ∂P   ∂R ∂Q ∂R
                         =   ,   =   ,   =
                      ∂y   ∂x ∂z   ∂x ∂z   ∂y
для всех точек области определения поля.
   Доказательство. Пусть функция U(x, y, z) является потенциалом век-
торного поля F(x, y, z) , тогда:
                            ∂U      ∂U      ∂U
                       P=      , Q=    , R=    .
                            ∂x      ∂y      ∂z

                                      81

Страницы