Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

осей декартовой системы координат. Покажем, что формула Грина верна
для областей более общего вида.
Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в одно-
связной области G вместе со своими частными производными
∂P
∂y
и
∂Q
∂x
. Пусть, кроме того, замкнутая область D, ограниченная контуром
C ⊂ G, может быть разбита на конечное число замкнутых областей, эле-
ментарных относительно обеих координатных осей декартовой системы
координат. Тогда имеет место формула Грина
I
C
P dx + Q dy =
ZZ
D
µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy .
Доказательство. Пусть D =
n
F
i=1
D
i
, где D
i
— области элементарные
относительно координатных осей. Тогда по доказанному и в силу одно-
связности области G для каждой из облатей D
i
справедлива формула
Грина
ZZ
D
i
µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy =
I
C
i
P dx + Q dy ,
где C
i
= ∂D
i
. Отсюда
ZZ
D
µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy =
n
X
i=1
ZZ
D
i
µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy =
=
n
X
i=1
I
C
i
P dx + Q dy =
I
C
P dx + Q dy ,
где последнее равенство получается в силу того, что части контуров C
i
,
находящиеся внутри области D проходятся дважды в противоположных
направлениях, поэтому криволинейные интегралы II-го рода по этим ча-
стям контуров при суммировании взаимно уничтожаются. Теорема до-
казана.
87
осей декартовой системы координат. Покажем, что формула Грина верна
для областей более общего вида.
    Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в одно-
связной области G вместе со своими частными производными ∂P и
                                                               ∂y
∂Q . Пусть, кроме того, замкнутая область D , ограниченная контуром
 ∂x
C ⊂ G , может быть разбита на конечное число замкнутых областей, эле-
ментарных относительно обеих координатных осей декартовой системы
координат. Тогда имеет место формула Грина
                I               ZZ µ         ¶
                                     ∂Q ∂P
                  P dx + Q dy =         −      dx dy .
                                     ∂x   ∂y
               C                D
                                  F
                                  n
   Доказательство. Пусть D =           Di , где Di — области элементарные
                                 i=1
относительно координатных осей. Тогда по доказанному и в силу одно-
связности области G для каждой из облатей Di справедлива формула
Грина          ZZ µ           ¶         I
                      ∂Q ∂P
                         −      dx dy =    P dx + Q dy ,
                      ∂x   ∂y
               Di                       Ci
где Ci = ∂Di . Отсюда
          ZZ µ         ¶         Xn ZZ µ          ¶
               ∂Q ∂P                      ∂Q ∂P
                  −      dx dy =             −      dx dy =
               ∂x   ∂y                    ∂x   ∂y
                                 i=1
          D                          Di
                  Xn I                  I
                =        P dx + Q dy = P dx + Q dy ,
                    i=1
                      Ci               C
где последнее равенство получается в силу того, что части контуров Ci ,
находящиеся внутри области D проходятся дважды в противоположных
направлениях, поэтому криволинейные интегралы II-го рода по этим ча-
стям контуров при суммировании взаимно уничтожаются. Теорема до-
казана.

                                       87

Страницы