Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 90 стр.

   Теорема 2. Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое в од-
носвязной области D векторное поле
                       F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в области D вы-
полнялось равенство:
                            ∂P    ∂Q
                               =      .                         (1)
                            ∂y    ∂x
   Доказательство. Необходимость условия этой теоремы была доказана
в предыдущем параграфе. Докажем достаточность.
   Пусть C ⊂ D — простой замкнутый контур, ограничивающий за-
мкнутую область D ⊂ G , для которой справедлива формула Грина.
Тогда в силу условия (1) имеем
              I                 ZZ µ         ¶
                                     ∂Q ∂P
                 P dx + Q dy =          −      dx dy = 0 .
                                     ∂x   ∂y
              C                 D
В частности, это верно в случае, если C — замкнутая ломаная линия без
самопересечений.
    Пусть C — замкнутая ломаная, имеющая самопересечения. Тогда
ее можно разбить на конечное число замкнутых ломаных без самопере-
сечений и прямолинейных отрезков, проходимых дважды в противопо-
                                             H
ложных направлениях. Криволинейный интеграл P dx + Q dy в этом
                                             C
случае равен сумме интегралов по замкнутым ломаным без самопере-
сечений и прямолинейным отрезкам. Криволинейные интегралы по за-
мкнутым ломаным равны нулю в силу сказанного выше, а по отрезкам
из-за их прохождения дважды в противоположных направлениях. Эти
слагаемые взаимно уничтожаются. Следовательно, интеграл
                        I
                          P dx + Q dy = 0
                        C
и в случае ломаных с самопересечениями. Таким образом, криволиней-
ный интеграл II-го рода при выполнении условий теоремы не зависит

                                     90