Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.3. Сведение поверхностного интеграла I-го рода
к двойному интегралу
Рассмотрим снова разбиение поверхности S сетью кривых на малые
участки S
1
, S
2
, S
3
, ..., S
n
. Тогда область D в пространстве параметров
поверхности разложится на части D
1
, D
2
, D
3
, ..., D
n
, взаимно-однозначно
соответствующие этим участкам. Выберем в каждом участке S
i
поверх-
ности S по точке (x
i
, y
i
, z
i
) , а в каждой области D
i
области D по точ-
ке (u
i
, v
i
) , которые также отвечают одна другой, то есть x
i
= x(u
i
, v
i
) ,
y
i
= y(u
i
, v
i
) , z
i
= z(u
i
, v
i
) . Представим поверхностный интеграл I-го
рода в виде предела от суммы:
ZZ
S
f(x, y, z) dS = lim
∆S
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆S
i
.
По формуле для площади поверхности будем иметь:
∆S
i
=
ZZ
D
i
p
EG − F
2
du dv .
Применив для этого интеграла теорему о среднем, получим:
∆S
i
=
p
EG − F
2
¯
¯
¯
¯
¯
u =
˜
u
i
v =
˜
v
i
∆D
i
,
где (
˜
u
i
,
˜
v
i
) — некоторая точка области D
i
, ∆D
i
— площадь области D
i
.
Лемма.
lim
∆D
max
→0
(
˜
σ − σ) = 0 ,
где
σ =
n
X
i=1
f(x(u
i
, v
i
), y(u
i
, v
i
), z(u
i
, v
i
))
p
EG − F
2
¯
¯
¯
u = u
i
v = v
i
∆D
i
,
˜
σ =
n
X
i=1
f(x(u
i
, v
i
), y(u
i
, v
i
), z(u
i
, v
i
))
p
EG − F
2
¯
¯
¯
¯
¯
u =
˜
u
i
v =
˜
v
i
∆D
i
.
100
         5.3. Сведение поверхностного интеграла I-го рода
                                  к двойному интегралу

      Рассмотрим снова разбиение поверхности S сетью кривых на малые
участки S1 , S2 , S3 , ..., Sn . Тогда область D в пространстве параметров
поверхности разложится на части D1 , D2 , D3 , ..., Dn , взаимно-однозначно
соответствующие этим участкам. Выберем в каждом участке Si поверх-
ности S по точке (xi , yi , zi ) , а в каждой области Di области D по точ-
ке (ui , vi ) , которые также отвечают одна другой, то есть xi = x(ui , vi ) ,
yi = y(ui , vi ) , zi = z(ui , vi ) . Представим поверхностный интеграл I-го
рода в виде предела от суммы:
              ZZ                                          n
                                                          X
                 f(x, y, z) dS =                 lim            f(xi , yi , zi ) ∆Si .
                                               ∆Smax →0
                                                          i=1
                     S
По формуле для площади поверхности будем иметь:
                         ZZ p
                   ∆Si =      EG − F2 du dv .
                                          Di
Применив для этого интеграла теорему о среднем, получим:
                         p
                   ∆Si = EG − F2 ¯¯¯ u = ũ ∆Di ,
                                            i
                                   ¯
                                   ¯ v = ṽi

где (ũi , ṽi ) — некоторая точка области Di , ∆Di — площадь области Di .
    Лемма.
                                         lim     (σ̃ − σ) = 0 ,
                                     ∆Dmax →0
где
               n
               X                                                p
        σ=           f(x(ui , vi ), y(ui , vi ), z(ui , vi ))      EG − F2¯¯ u = ui ∆Di ,
                                                                           ¯v= v
               i=1                                                                i

               n
               X                                                p
        σ̃ =         f(x(ui , vi ), y(ui , vi ), z(ui , vi ))      EG − F2 ¯¯¯ u = ũ ∆Di .
                                                                                      i
                                                                             ¯
               i=1                                                           ¯ v = ṽi

                                                  100

Страницы