Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
ZZ
S
r
x
2
a
4
+
y
2
b
4
+
z
2
c
4
dS
по поверхности эллипсоида
S :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1 (a > b > c > 0) .
Решение. Воспользуемся представлением эллипсоида:
x = a cos ϕ sin θ , y = b sin ϕ sin θ , z = c cos θ
(0 6 ϕ 6 2π , 0 6 θ 6 π) .
Тогда
E = (a
2
sin
2
ϕ + b
2
cos
2
ϕ) sin
2
θ ,
F = (b
2
− a
2
) cos ϕ sin ϕ cos θ sin θ ,
G = (a
2
cos
2
ϕ + b
2
sin
2
ϕ) cos
2
θ + c
2
sin
2
θ ,
а элемент поверхности
dS =
p
EG − F
2
dϕ dθ =
= abc
s
cos
2
ϕ sin
2
θ
a
2
+
sin
2
ϕ sin
2
θ
b
2
+
cos
2
θ
c
2
sin θ dϕ dθ .
Подинтегральная функция при переходе к параметрам ϕ и θ
r
x
2
a
4
+
y
2
b
4
+
z
2
c
4
=
s
cos
2
ϕ sin
2
θ
a
2
+
sin
2
ϕ sin
2
θ
b
2
+
cos
2
θ
c
2
.
По соображениям симметрии подинтегральной функции и области инте-
грирования вычисление можно привести к первому октанту координат-
ной системы, поэтому
ZZ
S
r
x
2
a
4
+
y
2
b
4
+
z
2
c
4
dS =
102
   Пример. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода
                       ZZ r 2
                           x    y2 z 2
                              +   + dS
                           a4 b4 c4
                       S
по поверхности эллипсоида
                       x2 y2 z2
                  S:      +  +    = 1 (a > b > c > 0) .
                       a 2 b2 c 2
   Решение. Воспользуемся представлением эллипсоида:

             x = a cos ϕ sin θ , y = b sin ϕ sin θ , z = c cos θ

                         (0 6 ϕ 6 2π , 0 6 θ 6 π) .
Тогда
             E = (a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ) sin2 θ ,
             F = (b2 − a2 ) cos ϕ sin ϕ cos θ sin θ ,
              G = (a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ) cos2 θ + c2 sin2 θ ,
а элемент поверхности
                                p
                         dS =    EG − F2 dϕ dθ =
              s
               cos2 ϕ sin2 θ sin2 ϕ sin2 θ cos2 θ
       = abc                 +             +         sin θ dϕ dθ .
                    a2               b2        c2
Подинтегральная функция при переходе к параметрам ϕ и θ
      r                  s
         x2 y2 z2           cos2 ϕ sin2 θ sin2 ϕ sin2 θ cos2 θ
           +    +     =                  +              +       .
         a4 b4 c4                a2            b2           c2
По соображениям симметрии подинтегральной функции и области инте-
грирования вычисление можно привести к первому октанту координат-
ной системы, поэтому
                     ZZ r 2
                         x    y2 z2
                            +    + dS =
                         a4 b4 c4
                     S
                                     102

Страницы