Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 109 стр.

компонент векторного поля F(x, y, z) , соответствующие слагаемые в вы-
ражении для поверхностного интеграла II-го рода будут отсутствовать.
Формулу сведения поверхностного интеграла II-го рода к поверхностно-
му интегралу I-го рода можно теперь записать в виде:
       ZZ
          P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy =
        S
         ZZ
       = (P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) dS .
        S
   Если свести поверхностный интеграл I-го рода, стоящий в правой
части этого выражения, к двойному интегралу, воспользовавшись ра-
                √                    √
венством dS = EG − F2 du dv = A2 + B2 + C2 du dv и выражениями
для cos α , cos β , cos γ , то мы получим следующую формулу:
        ZZ
           P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy =
        S
                           ZZ
                       =        (PA + QB + RC) du dv ,
                      D
которая сводит вычисление поверхностного интеграла II-го рода к двой-
ному интегралу по координатной области D поверхности S .
   Существует еще один метод сведения поверхностного интеграла II-го
рода к двойному интегралу. Координатное выражение для поверхност-
ного интеграла II-го рода
         ZZ
            P(x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy
            S
можно рассматривать как три двойных интеграла по соответствующим
координатным плоскостям, а именно, пусть область D — это проекция
поверхности S на координатную плоскость xy , область D 0 — ее проек-
ция на координатную плоскость xz , а область D 00 — на плоскость yz .

                                       109