Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

которая называется формулой Остроградского-Гаусса.
Величина, стоящая под знаком тройного интеграла имеет специаль-
ное название.
Определение. Cкалярная функция
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
,
называется дивергенцией векторного поля F(x, y, z) и обозначается сим-
волом div F , то есть
div F
def
=
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Дивергенцию также называют расходимостью векторного поля. Поль-
зуясь введенными выше понятиями, сформулируем следующую теорему.
Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля F че-
рез замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен
тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему тела V , огра-
ниченному этой поверхностью:
ZZ
S
(F, dS) =
ZZZ
V
div F dV .
Доказательство. В предположении, что область V элементарна от-
носительно координатных осей, докажем формулу
ZZZ
V
∂R
∂z
dx dy dz =
ZZ
S
R dx dy .
В силу элементарности области V относительно оси z , ее можно пред-
ставить в виде:
V = {(x, y, z) | z
1
(x, y) 6 z 6 z
2
(x, y), (x, y) ∈ D
xy
} ,
где графики непрерывных функций z = z
1
(x, y) и z = z
2
(x, y) являют-
ся поверхностями S
ниж
и S
верх
, ограничивающими область V снизу и
113
которая называется формулой Остроградского-Гаусса.
   Величина, стоящая под знаком тройного интеграла имеет специаль-
ное название.
   Определение. Cкалярная функция
                              ∂P ∂Q ∂R
                                 +    +    ,
                              ∂x   ∂y   ∂z
называется дивергенцией векторного поля F(x, y, z) и обозначается сим-
волом div F , то есть
                               def   ∂P ∂Q ∂R
                         div F =        +    +    .
                                     ∂x   ∂y   ∂z
   Дивергенцию также называют расходимостью векторного поля. Поль-
зуясь введенными выше понятиями, сформулируем следующую теорему.
   Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля F че-
рез замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен
тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему тела V , огра-
ниченному этой поверхностью:
                     ZZ           ZZZ
                        (F, dS) =     div F dV .
                        S               V
   Доказательство. В предположении, что область V элементарна от-
носительно координатных осей, докажем формулу
                   ZZZ              ZZ
                       ∂R
                          dx dy dz = R dx dy .
                       ∂z
                    V               S
В силу элементарности области V относительно оси z , ее можно пред-
ставить в виде:

          V = {(x, y, z) | z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y), (x, y) ∈ Dxy } ,

где графики непрерывных функций z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) являют-
ся поверхностями Sниж и Sверх , ограничивающими область V снизу и

                                      113

Страницы