Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из определения дивергенции div F видно, что она является скаляр-
ным полем, порождаемым векторным полем F . Однако из приведенного
выше определения может создаться впечатление, что дивергенция зави-
сит от выбора системы координат. Покажем, что это не так. Возьмем
некоторую точку (x
0
, y
0
, z
0
) в области определения поля F и окружим
ее замкнутой поверхностью S , ограничивающей некоторое тело V , со-
держащее эту точку. Если воспользоваться формулой Остроградского-
Гаусса, разделив обе ее части на объем V тела V
ZZZ
V
div F dV
V
=
ZZ
S
(F, dS)
V
,
перейти к пределу V →0 , стягивая тело V , а значит и ограничивающую
его замкнутую поверхность S в точку (x
0
, y
0
, z
0
) , и воспользоваться
теоремой о среднем значении для интеграла, стоящего в левой части
равенства, то получится значение дивергенции в этой точке
div F
|
(x
0
,y
0
,z
0
)
= lim
V→0
S→(x
0
,y
0
,z
0
)
ZZ
S
(F, dS)
V
.
Это равенство может служить определением дивергенции, причем в этой
форме определение уже не зависит от координатной системы. Таким об-
разом, можно утверждать, что дивергенция — это скалярное поле, по-
рождаемое векторным полем.
Для понимания смысла дивергенции, обратимся к физической ана-
логии. Пусть поле F есть поле скоростей материальной среды. Тогда из
полученного выше определения видно, что дивергенция в данной точке
равна потоку среды, вытекающему из бесконечно малого объема. Отсю-
да и произошел термин дивергенция (расходимость): среда растекается
из тех точек (источников), где div F > 0 , и, наоборот, стекается туда, где
115
   Из определения дивергенции div F видно, что она является скаляр-
ным полем, порождаемым векторным полем F . Однако из приведенного
выше определения может создаться впечатление, что дивергенция зави-
сит от выбора системы координат. Покажем, что это не так. Возьмем
некоторую точку (x0 , y0 , z0 ) в области определения поля F и окружим
ее замкнутой поверхностью S , ограничивающей некоторое тело V , со-
держащее эту точку. Если воспользоваться формулой Остроградского-
Гаусса, разделив обе ее части на объем V тела V
                       ZZZ            ZZ
                           div F dV      (F, dS)
                        V                         = S                ,
                                    V                        V
перейти к пределу V → 0 , стягивая тело V , а значит и ограничивающую
его замкнутую поверхность S в точку (x0 , y0 , z0 ) , и воспользоваться
теоремой о среднем значении для интеграла, стоящего в левой части
равенства, то получится значение дивергенции в этой точке
                                          ZZ
                                             (F, dS)

                 div F |(x                 =        lim          S       .
                             0 ,y0 ,z0 )          V→0                V
                                               S→(x0 ,y0 ,z0 )

Это равенство может служить определением дивергенции, причем в этой
форме определение уже не зависит от координатной системы. Таким об-
разом, можно утверждать, что дивергенция — это скалярное поле, по-
рождаемое векторным полем.
   Для понимания смысла дивергенции, обратимся к физической ана-
логии. Пусть поле F есть поле скоростей материальной среды. Тогда из
полученного выше определения видно, что дивергенция в данной точке
равна потоку среды, вытекающему из бесконечно малого объема. Отсю-
да и произошел термин дивергенция (расходимость): среда растекается
из тех точек (источников), где div F > 0 , и, наоборот, стекается туда, где

                                                115

Страницы