Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ротор также называют вихрем векторного поля. Легко видеть, что в
правой части формулы Стокса стоит поверхностный интеграл II-го рода
по поверхности S от ротора векторного поля F(x, y, z) , поэтому, пользу-
ясь введенными выше понятиями, можно утверждать, что справедлива
следующая теорема.
Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля F по замкнутому
контуру C равна потоку ротора этого поля через поверхность S , опи-
рающуюся на контур C :
I
C
(F, dl) =
ZZ
S
(rot F, dS) .
Доказательство. Вычислим поверхностный интеграл II-го рода
ZZ
S
∂R
∂y
dy dz −
∂R
∂x
dz dx =
ZZ
S
µ
∂R
∂y
cos γ −
∂R
∂x
cos β
dS =
=
ZZ
D
Ã
∂R
∂y
¯
¯
¯
¯
¯
y
0
u
z
0
u
y
0
v
z
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
−
∂R
∂x
¯
¯
¯
¯
¯
z
0
u
x
0
u
z
0
v
x
0
v
¯
¯
¯
¯
¯
!
du dv =
=
ZZ
D
µµ
∂R
∂x
∂x
∂u
+
∂R
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v
−
µ
∂R
∂x
∂x
∂v
+
∂R
∂y
∂y
∂v
∂z
∂u
du dv =
=
ZZ
D
µ
∂R
∂u
∂z
∂v
−
∂R
∂v
∂z
∂u
du dv =
ZZ
D
µ
∂
∂u
µ
R
∂z
∂v
−
∂
∂v
µ
R
∂z
∂u
¶¶
du dv =
=
I
Γ
R
∂z
∂u
du + R
∂z
∂v
dv =
I
C
R dz .
Аналогично доказываются формулы
ZZ
S
∂P
∂z
dz dx −
∂P
∂y
dx dy =
I
C
P dx ,
ZZ
S
∂Q
∂x
dx dz −
∂Q
∂z
dy dz =
I
C
Q dy .
118
   Ротор также называют вихрем векторного поля. Легко видеть, что в
правой части формулы Стокса стоит поверхностный интеграл II-го рода
по поверхности S от ротора векторного поля F(x, y, z) , поэтому, пользу-
ясь введенными выше понятиями, можно утверждать, что справедлива
следующая теорема.
   Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля F по замкнутому
контуру C равна потоку ротора этого поля через поверхность S , опи-
рающуюся на контур C :
                    I           ZZ
                       (F, dl) = (rot F, dS) .
                        C            S
   Доказательство. Вычислим поверхностный интеграл II-го рода
       ZZ                            ZZ µ                        ¶
          ∂R           ∂R                 ∂R            ∂R
             dy dz −       dz dx =           cos γ −       cos β dS =
          ∂y           ∂x                 ∂y            ∂x
       S                             S
               ZZ  Ã     ¯         ¯       ¯ 0        ¯!
                     ∂R ¯¯ yu zu ¯¯ ∂R ¯¯ zu xu ¯¯
                             0   0                 0

             =           ¯ 0 0 ¯−          ¯ 0      0 ¯  du dv =
                     ∂y ¯ yv zv ¯ ∂x ¯ zv xv ¯
               D
      ZZ µµ                    ¶       µ                   ¶     ¶
             ∂R ∂x ∂R ∂y ∂z              ∂R ∂x ∂R ∂y ∂z
    =               +                −           +                 du dv =
             ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v              ∂x ∂v ∂y ∂v ∂u
      D
  ZZ µ                ¶            ZZ µ     µ      ¶        µ      ¶¶
       ∂R ∂z ∂R ∂z                       ∂      ∂z       ∂      ∂z
=            −           du dv =              R       −       R       du dv =
       ∂u ∂v ∂v ∂u                      ∂u      ∂v       ∂v     ∂u
  D                                D
                       I                          I
                            ∂z          ∂z
                     = R        du + R dv = R dz .
                            ∂u          ∂v
                       Γ                          C
   Аналогично доказываются формулы
                   ZZ                              I
                       ∂P            ∂P
                           dz dx −      dx dy = P dx ,
                       ∂z            ∂y
                   S                              C
                  ZZ                               I
                      ∂Q             ∂Q
                           dx dz −      dy dz = Q dy .
                      ∂x             ∂z
                  S                               C
                                    118

Страницы