Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

лученного выше определения видно, что ротор в данной точке равен
циркуляции среды по бесконечно малому контуру, окружающему точку.
Пусть контур — это малая окружность радиуса r . Из курса физики мы
знаем, что скорость перемещения частиц среды всегда можно предста-
вить в виде суммы поступательного и вращательного движений:
F = F
0
+ [Ω, r] ,
где F
0
— скорость поступательного движения, а Ω — вектор угло-
вой скорости вращательного движения. Поступательную скорость то-
чек малого контура можно приближенно считать постоянной, поэтому
rot F
0
= 0 , и значит
rot F = rot [Ω, r] .
Вектор [Ω, r] является вектором линейной скорости по окружности и
равен по модулю Ωr . Поскольку этот вектор всегда направлен в направ-
лении касательной к окружности, то для оценки величины циркуляции
этого вектора по малой окружности достаточно умножить модуль этого
вектора на длину окружности, то есть на 2πr , откуда циркуляция равна
2Ωπr
2
. Пользуясь определением ротора, и замечая, что площадь внутри
нашего контура равна πr
2
(площадь окружности), получим, что ротор
в данной точке равен:
rot F = 2Ω .
То, что направления векторов rot F и Ω совпадают можно показать
непосредственным вычислением выражения rot [Ω, r] в некоторой коор-
динатной системе (см. упр. 6).
Из полученного выше соотношения и произошел термин ротор (вихрь):
ротор линейной скорости материальной среды в данной точке равен удво-
енному вектору угловой скорости вращения малого элемента объема сре-
ды, окружающего эту точку.
120
лученного выше определения видно, что ротор в данной точке равен
циркуляции среды по бесконечно малому контуру, окружающему точку.
Пусть контур — это малая окружность радиуса r . Из курса физики мы
знаем, что скорость перемещения частиц среды всегда можно предста-
вить в виде суммы поступательного и вращательного движений:

                          F = F0 + [Ω, r] ,

где F0 — скорость поступательного движения, а Ω — вектор угло-
вой скорости вращательного движения. Поступательную скорость то-
чек малого контура можно приближенно считать постоянной, поэтому
rot F0 = 0 , и значит
                          rot F = rot [Ω, r] .
Вектор [Ω, r] является вектором линейной скорости по окружности и
равен по модулю Ωr . Поскольку этот вектор всегда направлен в направ-
лении касательной к окружности, то для оценки величины циркуляции
этого вектора по малой окружности достаточно умножить модуль этого
вектора на длину окружности, то есть на 2πr , откуда циркуляция равна
2Ωπr2 . Пользуясь определением ротора, и замечая, что площадь внутри
нашего контура равна πr2 (площадь окружности), получим, что ротор
в данной точке равен:
                           rot F = 2Ω .
То, что направления векторов rot F и Ω совпадают можно показать
непосредственным вычислением выражения rot [Ω, r] в некоторой коор-
динатной системе (см. упр. 6).
   Из полученного выше соотношения и произошел термин ротор (вихрь):
ротор линейной скорости материальной среды в данной точке равен удво-
енному вектору угловой скорости вращения малого элемента объема сре-
ды, окружающего эту точку.



                                  120

Страницы