ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Определение двойного интеграла
В предыдущих разделах курса мы рассматривали определенный ин-
теграл
b
Z
a
f(x) dx
для случая, когда подинтегральная функция f(x) определена на отрез-
ке [a, b] числовой прямой x . Мы знаем также, что с помощью опре-
деленного интеграла решается задача о вычислении площади криволи-
нейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной (или непо-
ложительной) функции y = f(x) , осью x и двумя вертикальными пря-
мыми: x = a и x = b . Значение этой площади выражается написанным
выше определенным интегралом, и, таким образом, определенный инте-
грал получает геометрическое истолкование. Далее мы последовательно
рассматривали интегральное исчисление функций одной действительной
переменной. В данной части нашего курса мы обобщим понятие опре-
деленного интеграла и рассмотрим интегральное исчисление функций
многих переменных. Ближайшим и непосредственным таким обобщени-
ем является понятие двойного интеграла.
Пусть z = f(x, y) — неотрицательная функция двух переменных,
определенная на области D координатной плоскости xy . График функ-
ции двух переменных z = f(x, y ) есть некоторая поверхность S в трех-
мерном евклидовом пространстве E
3
, отнесенном к декартовой системе
координат x , y , z . Рассмотрим тело V, ограниченное сверху этой по-
верхностью, снизу областью D, с боков цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси z и проходящими через границу
3
1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Определение двойного интеграла
В предыдущих разделах курса мы рассматривали определенный ин-
теграл
Zb
f(x) dx
a
для случая, когда подинтегральная функция f(x) определена на отрез-
ке [a, b] числовой прямой x . Мы знаем также, что с помощью опре-
деленного интеграла решается задача о вычислении площади криволи-
нейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной (или непо-
ложительной) функции y = f(x) , осью x и двумя вертикальными пря-
мыми: x = a и x = b . Значение этой площади выражается написанным
выше определенным интегралом, и, таким образом, определенный инте-
грал получает геометрическое истолкование. Далее мы последовательно
рассматривали интегральное исчисление функций одной действительной
переменной. В данной части нашего курса мы обобщим понятие опре-
деленного интеграла и рассмотрим интегральное исчисление функций
многих переменных. Ближайшим и непосредственным таким обобщени-
ем является понятие двойного интеграла.
Пусть z = f(x, y) — неотрицательная функция двух переменных,
определенная на области D координатной плоскости xy . График функ-
ции двух переменных z = f(x, y) есть некоторая поверхность S в трех-
мерном евклидовом пространстве E3 , отнесенном к декартовой системе
координат x , y , z . Рассмотрим тело V , ограниченное сверху этой по-
верхностью, снизу областью D , с боков цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси z и проходящими через границу
3
