Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

бесконечности, поскольку разбиение нашей фиксированной области D
становится все мельче, а значит количество элементарных областей D
i
возрастает.
Определение. Конечный предел суммы
σ =
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆S
i
при беспредельном уменьшении площадей ∆S
i
элементарных областей
D
i
и беспредельном возрастании числа n элементарных областей на-
зывается двойным интегралом (Римана) от функции z = f(x, y) по
области D и обозначается символом:
ZZ
D
f(x, y) dS .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области D, ни
от выбора точек (x
i
, y
i
) внутри элементарных областей D
i
.
Итак,
ZZ
D
f(x, y) dS
def
= lim
∆S
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆S
i
,
где ∆S
max
= max
i
∆S
i
.
Определение. Сумма σ =
n
P
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆S
i
называется интеграль-
ной суммой для двойного интеграла
RR
D
f(x, y) dS .
Отнесем область D к прямоугольным декартовым координатам и
допустим, что элементарные области D
i
получаются путем разбиения
области D на прямоугольники со сторонами ∆x
i
и ∆y
i
сеткой пря-
мых, параллельных координатным осям. Тогда мы можем написать, что
∆S
i
= ∆x
i
∆y
i
для любого i . Выражение dS = dx dy называется эле-
ментом площади в прямоугольных декартовых координатах. Таким об-
разом, определение двойного интеграла в прямоугольной декартовой си-
5
бесконечности, поскольку разбиение нашей фиксированной области D
становится все мельче, а значит количество элементарных областей Di
возрастает.
   Определение. Конечный предел суммы
                               n
                               X
                          σ=         f(xi , yi ) ∆Si
                               i=1

при беспредельном уменьшении площадей ∆Si элементарных областей
Di и беспредельном возрастании числа n элементарных областей на-
зывается двойным интегралом (Римана) от функции z = f(x, y) по
области D и обозначается символом:
                           ZZ
                              f(x, y) dS .
                             D
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области D , ни
от выбора точек (xi , yi ) внутри элементарных областей Di .
    Итак,
               ZZ                       Xn
                               def
                  f(x, y) dS = lim         f(xi , yi ) ∆Si ,
                                 ∆Smax →0
                                            i=1
                D
где ∆Smax   = max ∆Si .
                i
                                  P
                                  n
   Определение. Сумма σ =        f(xi , yi ) ∆Si называется интеграль-
                                   RR
                                  i=1
ной суммой для двойного интеграла      f(x, y) dS .
                                   D
   Отнесем область D к прямоугольным декартовым координатам и
допустим, что элементарные области Di получаются путем разбиения
области D на прямоугольники со сторонами ∆xi и ∆yi сеткой пря-
мых, параллельных координатным осям. Тогда мы можем написать, что
∆Si = ∆xi ∆yi для любого i . Выражение dS = dx dy называется эле-
ментом площади в прямоугольных декартовых координатах. Таким об-
разом, определение двойного интеграла в прямоугольной декартовой си-

                                      5

Страницы