Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

стеме координат примет вид:
ZZ
D
f(x, y) dx dy = lim
∆x
max
→0
∆y
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆x
i
∆y
i
,
где ∆x
max
= max
i
∆x
i
, ∆y
max
= max
i
∆y
i
.
Теория двойного интеграла строится по аналогии с теорией опреде-
ленного интеграла Римана. Ниже мы приведем основные определения
и теоремы. Доказательства всех приведенных ниже теорем проводятся
подобно тому, как они были проведены для определенного интеграла
функции одной переменной. Предоставляем читателю проведение этих
доказательств в качестве упражнения.
Определение. Функция z = f(x, y) называется интегрируемой по
Риману в области D, если для нее существует двойной интеграл Римана
по этой области.
Теорема 1. Если функция z = f(x, y) интегрируема по Риману в
области D, то она ограничена в этой области.
Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для двойного
интеграла определяются следующим образом:
s
def
=
n
X
i=1
m
i
∆S
i
, S
def
=
n
X
i=1
M
i
∆S
i
,
где
m
i
= inf
(x,y)∈D
i
f(x, y) , M
i
= sup
(x,y)∈D
i
f(x, y) .
Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области D проведением новых линий де-
ления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области D на элементарные
области.
6
стеме координат примет вид:
            ZZ                                         n
                                                       X
               f(x, y) dx dy =               lim              f(xi , yi ) ∆xi ∆yi ,
                                            ∆xmax →0
                                            ∆ymax →0    i=1
               D
где ∆xmax = max ∆xi , ∆ymax = max ∆yi .
                i                             i
      Теория двойного интеграла строится по аналогии с теорией опреде-
ленного интеграла Римана. Ниже мы приведем основные определения
и теоремы. Доказательства всех приведенных ниже теорем проводятся
подобно тому, как они были проведены для определенного интеграла
функции одной переменной. Предоставляем читателю проведение этих
доказательств в качестве упражнения.
      Определение. Функция z = f(x, y) называется интегрируемой по
Риману в области D , если для нее существует двойной интеграл Римана
по этой области.
   Теорема 1. Если функция z = f(x, y) интегрируема по Риману в
области D , то она ограничена в этой области.
   Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для двойного
интеграла определяются следующим образом:
                                 n
                                 X                           n
                                                             X
                           def                         def
                      s=                mi ∆Si , S =                Mi ∆Si ,
                                  i=1                         i=1

где
                    mi =         inf    f(x, y) , Mi = sup f(x, y) .
                           (x,y)∈Di                            (x,y)∈Di

      Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области D проведением новых линий де-
ления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области D на элементарные
области.


                                                  6

Страницы