Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3) При данном разбиении и независимо от выбора точек (x
i
, y
i
) будут
выполняться неравенства
s 6 σ 6 S .
Определение. Нижний I
∗
и верхний I
∗
интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:
I
∗
= sup
T
s , I
∗
= inf
T
S ,
где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области D.
Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
lim
∆S
max
→0
(S − s) = 0
или, что тоже
I
∗
= I
∗
.
Теорема 3. Если функция z = f(x, y) непрерывна в области D, то
она интегрируема в этой области.
Теорема 4. Если ограниченная функция z = f(x, y) имеет в области
D разрывы разве лишь на конечном числе кусочно-гладких кривых, то
она интегрируема по Риману в этой области.
1.2. Свойства двойного интеграла
Свойства двойного интеграла, приведенные ниже, доказываются так-
же, как свойства определенного интеграла непосредственно из его опре-
деления как предела суммы.
1. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в
области D функции f(x, y) вдоль какой-либо кусочно-гладкой кривой
на конечные величины, то вновь полученная функция также интегриру-
ема в области D и ее двойной интеграл равен двойному интегралу от
функции f(x, y) .
7
3) При данном разбиении и независимо от выбора точек (xi , yi ) будут
выполняться неравенства
                              s6σ6S.
   Определение. Нижний I∗ и верхний I∗ интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:

                        I∗ = sup s , I∗ = inf S ,
                              T               T

где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области D .
    Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
                            lim (S − s) = 0
                          ∆Smax →0
или, что тоже
                                  I∗ = I∗ .
   Теорема 3. Если функция z = f(x, y) непрерывна в области D , то
она интегрируема в этой области.
   Теорема 4. Если ограниченная функция z = f(x, y) имеет в области
D разрывы разве лишь на конечном числе кусочно-гладких кривых, то
она интегрируема по Риману в этой области.


                1.2. Свойства двойного интеграла

   Свойства двойного интеграла, приведенные ниже, доказываются так-
же, как свойства определенного интеграла непосредственно из его опре-
деления как предела суммы.
   1. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в
области D функции f(x, y) вдоль какой-либо кусочно-гладкой кривой
на конечные величины, то вновь полученная функция также интегриру-
ема в области D и ее двойной интеграл равен двойному интегралу от
функции f(x, y) .

                                     7

Страницы